第八章：三元一次方程组的解法

8.4三元一次方程组 的解法

前面我们学习了二元一次方程组及 其解法——消元法。有些有两个未知数 的问题，可以列出二元一次方程组来解 决。实际上，有不少问题含有更多未知数。 我们看下面的问题：
情境引入
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？
这个问题中包含有 个相等关系：
分析 三 1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
问题
我们自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、 z张，根据题意可以得到下面三个方程:
问题解决 x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成

定义 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

讨论：怎样解三元一次方程组？
能不能类比二元一次方程组的解法,设法消去一个或两个未知数,把它化成二元一次方程组或二元一次方程呢?
① ② ③ 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程
这个方程组就是我们上节学过的二元一次方程组。
即
方法归纳 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行，把 转化 为 ，使解三元一次方程组转化为 解，进而再转化为 解 。这与解二元一次方程组 的思路是一样的。
消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组 3x＋4z=7 11x＋10z=35
解这个方程组，得 ｛ X=5 Z=-2 把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，三元一次方程组的解为
｛ ｛ X=5 Y= Z=-2
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.

例2 在等式 y=a ＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时, y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0 ① 4a＋2b＋c=3② 25a＋5b＋c=60③
｛ ②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1 4a＋b=10
｛ a=3 b=-2 解这个方程组，得 ｛ 把 代入①，得 a=3 b=-2 ｛ C=-5 a=3 b=-2 c=-5
｛ 因此 答：a=3, b=-2, c=-5.

解：①+②+③，得 ① ② ③ ④ ④-①，得 ④-②，得 ④-③，得 所以方程组的解为： 特殊方法展示
1、一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组
知识小结 2.基本思路: ②有表达式，用代入法。
③缺某元消某元 ①消去某一元 3、解三元一次方程组有哪些方法？