22.2：平行四边形的判定

平行四边形判定（3）
三角形的中位线
回顾与联想： □ ABCD (1)AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD
(4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
(5) AO=OC, BO=OD
(3) AB∥CD,AB=CD
A B C D O
定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？
三条中位线把原三角形分成了几个小三角形？这些三角形有什么关系？

探究： 1、如图，线段DE是ΔABC的中位线，这条中位线与边BC有什么关系？（位置、数量）
2、你能证明这一结论吗？

A B C D E F ∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、AE=EC∴△ADE ≌ △CFE
证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.
∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF 所以 ，四边形BCFD是平行四边形
还有另外的证法吗？ ∴DF∥BC，DF＝BC
又∵ 即DE∥BC 已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ BC，且DE= BC 。

　已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证DE∥BC且DE=BC
B C A D E F 证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
DF∥BC，DF=BC
又DE=DF ∴DE∥BC且DE=BC

三角形的中位线的定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

练一练 1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， BC=10cm，则DE=______. 2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
A E D C B (1) A E D B C (2)
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
思考： 中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。

2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A B C D E
例1：求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点。求证：EFGH是平行四边形。
任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。

例2：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
A D B C E G F O 提示:证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线.

3、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= BE.

走进中考 1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F分别为AC，BC的中点，CE是斜 边的中线，如果DF=3cm， 则CE=_______cm。
∟ A B C D E F 图1 2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交,求证: FG=1/2（AB+BC+AC）
A B C D E F G H H K 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
DG是Rt△ADC斜边上的中线
∴EF＝DG 你还想到了什么？
小结 三角形中位线定义 三角形中位线定理 三角形中位线定理应用

注意： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
定 理 应 用： ⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径