26.1.5 用待定系数求二次函数的解析式

26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式

回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以
k+b=3 -2k+b=-12 解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.

解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得： 因此：所求二次函数是：
a=2, b=-3, c=5
y=2x2-3x+5
例1已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
用待定系数法求二次函数的解析式

求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式

解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
故所求的抛物线解析式为
y=－x2+1 用待定系数法求二次函数的解析式
a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1

课　堂　练　习
应用 例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组 通过利用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂，
评价
设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解： 根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解， 方法比较灵活
评价 ∴ 所求抛物线解析式为
例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
应用
课　堂　小　结 求二次函数解析式的一般方法：
　已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式。
　已知图象的顶点坐标和图像上任意一点， 通常选择顶点式。
y x 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，

一般式： 　　例1　求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
分析 ：已知一般三点，用待定系数法设为一般式求其解析式.

顶点式： 例2 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 C(2，5)，求其解析式。

交点式： 例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过 点C(2，5)，求其解析式。
· · ·
充分利用条件 合理选用以上三式
例4 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。
分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点 式或交点式求解。

（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以 为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E． 若抛物线 经过C、B两点，求抛 物线的解析式，并判断点D是否在该抛物线上．

桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米 1.求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。 2.求柱子ＡＤ的高度。

如图，现有一横截面是抛物线的水渠．一次，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的点，另一端露出水面并靠在水渠内侧的点，发现标杆有1m浸没在水中，露出水面部分的标杆与水面成30°的夹角（标杆与水渠的横截面在同一平面内）． 以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式．