26.2 用函数观点看一元二次方程

26.2.1 用函数观点 看一元二次方程

复习思考与观察 第一种方法：通过计算 设y=0,得x-3=0.解得x=3. 所以图像与x轴的 交点坐标是（3，0）.
第二种方法看图像 如何求一次函数y=x-3的图像与x轴的交点坐标.
（3，0）
思考 如何求二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标呢？ 方法一： 设y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0， 解得 x1=3,x2=-1, 所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0).

方法二： 也可以观察抛物线与坐标轴的交点情况得到两个交点坐标.

引发思考 通过这个例题的解答我们能得到什么信息呢？
我们可以知道：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根，反之也成立。

问题2: 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有,请求出交点坐标. (1) y = x2+x-2 (2) y = x2 - 6x +9 (3) y = x2 – x+ 1
知识探究
有两个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac ＞ 0
只有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0
没有交点 没有实数根 b2-4ac ＜ 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点
二次函数与一元二次方程
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
2.不与x轴相交的抛物线是( ) A y=2x2 – 3B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 – 3xD y=-2(x+1)2 - 3
D 随堂训练 1.一元二次方程 3x2+x-10=0的两个根是x1= -2 , x2= , 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐 标是＿＿＿＿＿.
(-2,0)和
1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 y (单位:m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有关系: y= 20 x – 5 x2 问: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
解决问题
解：（1）解方程 当球飞行1 s和3 s时，它的高度为15 m.
（2）解方程 当球飞行2 s时，它的高速为20 m.

（3）解方程 因为 ，所以方程无实数根。即小球的高度达不到20.5 m。
（4）解方程 当球飞行0 s和4 s时，它的高速为0 m，即0 s时球从地面飞出， 4s时落回地面。

归纳: 知识探究 y=ax2+bx+c与ax2+bx+c=0的关系：
1.解方程ax2+bx+c=0可以看作是二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值。
求二次函数y=ax2+bx+c的值为0时自变量x的值。可以看作是解方程ax2+bx+c=0