27.2.3 相似三角形的周长与面积

27.2.3相似三角形的周长与面积

如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？

一 温故知新
复习回顾 （2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？
对应角相等， 对应边成比例；
根据 定义； 对应角相等， 对应边成比例；
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？
相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 与ΔABC的相 似比是多少？
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)

二 探究新知
思考 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
相似三角形周长的比等于相似比。
相似多边形周长的比等于相似比。

想一想 三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线， 中线

思考 相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D， A / D / B / C /于D / ， 求证：
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。

②相似三角形的 对应角平分线之 比，中线之比， 都等于相似比。

（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们的面积比是多少？
思考？ ①相似三角形面积的比等于相似比的平方.

（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的面积比是多少？
A B C D A' B' C' D' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
分别连接AC，A'C'

（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k，它们的面积比是多少？
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.

（1）相似三角形对应的 比等于相似比.
相似三角形(多边形)的性质:
（3）相似 面积的比等于相似比的平方.
多边形 多边形 （2）相似 周长的比等于相似比.
三角形 三角形 高线 角平分线 中线
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？
D E 你会解决引入中的问题了吗?

相似三角形的性质 对应角相等 对应边成比例 对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
相似比等于对应边的比
周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方

三 运用新知
练习： （1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3， 则周长比为 ，对应边上中线之比 ， 面积之比为 。 （2）已知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4， 则周长之比为 ，相似比 ，对应边上的 高线之比 。
2：3 4：9 3：2 3： 2 3：2 2：3
2.把一个三角形变成和它相似的三角形， （1）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。 （2）如图在等边三角形ABC中，点D、 E分别在AB、AC边上，且DE∥BC, 如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE 的周长等于_______cm。 3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是 ——————。 （2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。

例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长和面积。

例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴ 又∠D＝∠A ∴ △DEF∽△ABC，相似比为
A B C D E F 例题分析
1、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。
（√） （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。
（×） 基础练习
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．
练习 （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
扩大5倍周长＝5原周长

解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．

2、如图，△ABC∽△A`B`C`，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm，B`C`=24cm， 求BC、AC、A`B` 、 A`C`的长。

4.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
解： ∵△ABC∽△A′B′C′

5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）
解： 两块蛋糕是相似的 相似比是1：2 面积的比为 设半径是30cm的蛋糕够x人吃
1：4＝2：x x = 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．

6. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
解： 放缩比例为 面积发生了
7.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？

8.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地， 由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？

5、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =
(2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3
* 5、如图,在△ABC中,D、F是AB的三 等分点， DE∥FG ∥ BC，则:
1:4:9 (1)S △ADE: S △AFG : S △ABC =
(2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =
1:3:5
6、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的 相似比是_______

*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积,梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则△ADE与△ABC的 相似比是_______； △AFG与△ABC的 相似比是_______.

7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。

8、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF？

四 课堂小结
（1）相似三角形对应的 比等于相似比.
相似三角形(多边形)的性质:
（3）相似 面积的比等于相似比的平方.
多边形 多边形 （2）相似 周长的比等于相似比.
三角形 三角形 高线 角平分线 中线
基本图形： 1.等分边长： 2.等分面积
五 课后拓展
1、如图,在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。
(3)若S△DOE=1cm2,求S△OBC ,S△OEC 和S△ABC.
(1)找出图中的各对相似三角形；
(2)各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？

2.如图，ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A、 B、 C、 D、
B
3.如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形ABCD 的边AB的延长线上一点，且 ，那么 S△BEF = .

4、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
N M Q P E D C B A 解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 ∵PN∥BC∴△APN∽ △ABC ∴

5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y与x的关系式。
(３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？