27.2.1 相似三角形的判定

27.2 相似三角形
黄坑中学 九年级数学
谢国财
知识回顾 1、相似多边形的判定
2、什么叫相似比 3、最简单的相似多边形是什么图形

新课导入 ∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1， 如果 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。
注意
相似比 相似的表示方法 符号：∽ 读作：相似于
如何证明两个三角形相似呢？

任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？
探　究
事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到
，还可以得到: 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.

如图，在△ABC中, DE∥BC，DE分 别交AB、AC于点D、E, △ADE与△ABC有 什么关系?
F 思考 ？
相似三角形判定的预备定理
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
A型 你还能画出其他图形吗？

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
延伸 即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？ X型 M N
相似具有传递性 △ADE∽△ABC M N 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？
△AMN∽△ADE △AMN∽△ABC 共有三对相似三角形。

已知： △ABC∽△A1B1C1.
求证：
证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作，交 于点E根据前面的定理可得.
D E
∴ 又 D E ∴ ∴ ∴ （SSS） ∵ ∴
三角形相似判定定理之一

求证：∠BAD=∠CAE。
∴ΔABC∽ΔADE ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE
小练习 已知： 解：∵
你能证明吗？
三角形相似判定定理之二
△ABC∽△A1B1C1.
即： 如果 ∠B =∠B1 . 那么
A B C A′ B′ C′
三角形相似判定定理之三

如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。

已知： △ABC∽△A1B1C1.
求证： 你能证明吗？ Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
判定三角形相似的定理之四
△ABC∽△A1B1C1.
即： 如果 那么 √ Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.

课堂小结 1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义（三边对应成比例，三角相等）
相似三角形判定的预备定理
三边对应成比例，两三角形相似
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
两角对应相等，两三角形相似
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似

对应角相等。 对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：

（1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
√ × √ × √ × √ × 随堂练习