28.2 解直角三角形
锐角三角函数 sinA 、cosA、tanA 、cotA分别等于直角三角形中哪两条边的比？
回顾
珠穆朗玛峰，海拔8844.43米，为世界第一高峰，位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀则地区定日县正南方．峰顶终年积雪，一派圣洁景象．珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以上的山峰，被誉为地球第三级．
珠穆朗玛峰那么高，它的高度是怎样测出来的？
测量珠峰高程，首先确定珠峰海拔高程起算点．我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起始点（水准原点），因为测绘人员已取得西藏拉孜县相对青岛水准原点的精确高程，测量队只需要从拉孜起测．前半程仍采用传统而精确的水准测量法，每隔几十米竖立一个标杆，通过水准仪测出高差，一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字．这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交会测量点．
当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理，推算出峰顶相对于这几个点的高程差． 最后，通过进行重力、大气等多方面的改正计算，确定珠峰高程．GPS测量，则是将GPS测量设备带至峰顶直接获取数据，然后通过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程．
【知识与能力】 1．掌握直角三角形的边角关系； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问题、解决问题的能力． 【情感态度与价值观】 通过本节的学习，渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．
重点： 直角三角形的解法． 难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
5个 6个元素 三边 两个锐角 一个直角 （已知）
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°，求∠B，a，c．
A B C a b c 3 30° ? ? ? ┓
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系
∠ A＋ ∠ B＝ 90o
（3）边角之间的关系
解直角三角形的依据
在下图的Rt△ABC中， （1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素．
∠B＝30°； AC＝3， BC＝
（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？
∠B＝30°； ∠A＝60， BC＝
在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素．
结论
解直角三角形 ???在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫解直角三角形．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1) ．
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
??? 【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5， ，求∠A、∠B、c边．
解： ∴∠A≈56.1°， ∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．
?? （1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，解直角三角形．
∠A＝41.4° ∠B＝48.6°
小练习
???? （2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边， ???? Ⅰ．a＝6，sinA＝ ，求b，c，tanA； ???? Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．
Ⅰ． b＝ c＝15
Ⅱ．
（3） 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．
a≈213．3． b≈192．7． ∠A＝47°54′．
已知 两边 两直角边 一斜边，一直角边
一边一角 一锐角，一直角边 一锐角，一斜边
归纳
已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除．
优选关系式
仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
方向角 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
【例3 】 如图， 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．
解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中， ∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中， ∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
∴塔高CD 为 m．
（1）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上看地平面控制点B的俯角a=25°，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．
小练习
解：在Rt△ABC中
答：飞机A到控制点B距离为3000.0米．
∴
（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．
小练习
解： 所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m．
【例4】如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60?，航行18海里到C，见岛A在北偏西45?，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
A B D C P P1 45? 60?
答：货轮有触礁危险．
∵ ∠PBA= 60?， ∠P1CA= 30?，
∴ ∠ABC=30?， ∠ACD= 30?，
在Rt△ADC中， CD=AD?cot∠ACD= x?cot60?，
在Rt△ADB中， BD=AD?cot45?= x?cot45?，
∵ BD－CD＝BC，BC＝18
∴ x?cot45?- x?cot60?=18
∴ x＝ ≈9×(3＋1.732)=42.588 < 45
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD=x
（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看某小岛C在船的北偏东60°，半个小时后，渔船行止B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．已知以小岛C为中心，周围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能?
小练习
解：设BD=x 海里
由题意得AB=20，
∴AD=20+x 在Rt△ACD和Rt△BCD中，
CD=ADtan30°=BDtan60°
∴x=10 所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．
>15
（2）正午8点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于20海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到1分）．
10时44分 小练习
（3）如图，海岛A的周围15海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行16海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
有触礁的危险 小练习
【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是45°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．
解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BC
∵ ∴ 又∵BE=EC ∴ 答：它的里口宽BC长为320mm．
遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加 辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图 形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直 角三角形的问题．
如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（精确到0.01米）．
AC约为5.77米 AD约为2.89米
小练习
（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，AB=10，DE=6， cosA=，求CD的长．
CD的长为1 小练习
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
坡度、坡角
【例6 】（1）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为30cm，深为30cm．为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度． （sin12°≈ 0.2079）
解： 在Rt△BDC中，∠C=12°
∴ AC=282－60=222（cm）
由题意得，BD=60
（2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．
上述问题可以归结为： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
解：在Rt△ABC中，
∴ 答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米．
（1）如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？
小练习
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角． ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° ∴DE=BD·cosD=500×0.6428 =321.400≈321.4（m） 答：开挖点E离D为321.4米，正好能使A、C、E成一直线．
（2）如图 ，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．
坝底AD的宽为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．
小练习
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
归纳
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系
∠ A＋ ∠ B＝ 90o
（3）边角之间的关系
1．解直角三角形的依据
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．在△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形．
⑴∠A=60°，斜边上的高CD =；
⑵∠A=60°，a+b=3+．
解：（1）∠B = 90°-∠A = 30°
AC=
2．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD=2AC=2BD， 且DE⊥AB． （1）求tanB； （2）若DE=1，求CE的长．
CE＝5
3．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
求：sinB，cosB，tanB的值．
A B C D 解: 过点A作AD⊥BC于D，垂足为D
∵AB=AC=13， AD⊥BC，BC=10
∴BD=CD=5 ∴AD=12 ┓
4．为测量松树AB的高度，一个人站在距松树20米的E处，测得仰角∠ACD=56o，已知人的高度是1．76米，求树高（精确到0.01米）．
解：在Rt△ACD中，
tgC=AD/CD，
∴AD=CDtanC=BEtanC
=20×tan56o
=20×1.4826≈29.65(米)．
∴AB=AD+BD=29.65+1.76 =31.41(米)．
答：树高31.41米．
┓ D 75° 450 A B C 5．如图，在△ABC中，已知AC=8，∠C=75°，∠B= 45°，求△ABC的面积．
8 解:过C作CD⊥AB于D，
∵sinA= cosA=
∵ ∠BDC = 90°
∴S△ABC= ∴CD=AC·sin60°=
AD=AC·cos60°=4
A C 1000米 570米 B 6．我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为580米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
∴∠A > 30°∴这辆坦克不能通过这座小山．
∵tan 30°= ≈0.577 <58
tanA>tan30°
∴tanA = = 解：∵ BC⊥AC ， BC=570米 ， AC=1000米
= 0.58
1. 2． AB = 6.18m，AD = 3.63m.
3． 143m. 4． 4 221m.