15.3.2：完全平方公式

标题 标题 15.3.2 完全平方公式

回顾旧知———平方差公式 ( a + b )( a – b )=a2 - b2
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？

完 全 平 方 公 式
一块边长为a米的正方形实验田，
图1—6 因需要将其边长增加 b 米。
形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
(a+b) ； 2 a2+ ab+ ab+ b2. (a+b)2= a2+ ab + b2. 2
探究 计算下列各式，你能发现什么？ (p+1)2 =(p+1)(p+1)= (m+2)2= (p-1)2 =(p-1)(p-1)= (m-2)2 =
p2+2p+1 (m+2)(m+2)=m2+4m+4
p2-2p+1 (m-2)(m-2)=m2- 4m+4

m2- 4m+4=m2-2×m×2+22
猜想 (a+b)2= (a -b)2=
a2+2ab+b2 a2 - 2ab+b2

完全平方公式 (1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a+b) (a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2; (2) a2 ?2ab+b2.
小颖写出了如下的算式:
(a?b)2= [a+(?b)]2 ? 她是怎么想的? 利用两数和的 完全平方公式
? 推证公式 ? = 2 + 2+2
a a (?b) (?b) = a2 2ab ? b2. + 你能继续做下去吗? 的证明
(a+b)2 a2 b2 完全平方和公式： 完全平方公式 的图形理解

(a-b)2 a2 b2 完全平方差公式： 完全平方公式 的图形理解

初 识 完全平方 公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 . (a?b)2 = a2? 2ab+b2 .
a2 ab b2 结构特征: 左边是 的平方; 二项式 右边是 (两数和 ) (差) (a+b)2= a2 ?ab ?b(a?b) = a2?2ab+b2 .
= (a?b)2 a?b a?b b(a?b) (a?b)2 a2+2ab+b2 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍. (a?b)2 = a2?2ab+b2
语言表述: 两数和 的平方 等于 这两数的平方和
加上这两数乘积的两倍.
(差) (减去)
公式特点： 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。
首平方，尾平方，积的2倍在中央

例题解析 例题 例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x?3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,
先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是 a , 哪个是 b.
第一数 2x 4x2 2x 的平方, ( )2 ? 减去 2x 第一数 与第二数 ? 2x 3 ? 乘积 的2倍, ? 2 加上 + 第二数 3 的平方. 2 = ? 12x + 9 ; 3
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？
. (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2

纠错 练 习 指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a?1)2＝2a2?2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.
解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a?1)2＝ (2a)2?2?2a?1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: (?a?1)2＝(?a)2?2?(?a )?1+12;

拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (?4a+1)2=(1?4a)2； (2) (?4a?1)2=(4a+1)2； (3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2； (4) (4a?1)(?1?4a)＝(4a?1)(4a+1).
(1) 由加法交换律 ?4a+l＝l?4a。
成立 理由: (2) ∵ ?4a?1＝?(4a+1)，
成立 ∴(?4a?1)2＝[?(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1?4a)＝?(?1+4a)
不成立． 即 (1?4a)＝?(4a?1)
＝?(4a?1)， ∴ (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[?(4a?1)]
＝?(4a?1)(4a?1)＝?(4a?1)2。
不成立． (4) 右边应为: ?(4a?1)(4a+1)。

随堂练习 (1) (x ? 2y)2 ； (2) (2xy+ x )2 ;
2、运用完全平方公式计算：
(-2x+5)2 (n +1)2 ? n2.

例2:运用完全平方公式计算:
(1) 1022 (2) 992
解: (1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404
(2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801

思考 (1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
(3) (a-b)2与a2-b2相等吗?

本节课你的收获是什么？
小结 本节课你学到了什么?
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 结果不同： 完全平方公式的结果 是三项， 即 (a ?b)2＝a2 ?2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a?b)＝a2?b2.
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键