12.1：轴对称（2）

12.1 轴 对 称（2）
轴对称的性质 及线段的垂直平分线

MN⊥AA’于P AP = A’P
1、图中的对称点有哪些？ 2、点Ａ和A’的连线与直线MN有什么样的关系？
思考？ 图中的两个三角形关于直线MN对称
直线MN垂直且平分线段AA’
定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
P Q G
图中的两个三角形关于直线MN对称
P Q G 对称轴MN是对应点A、A’所连线段的垂直平分线。
L L’ 图中的两个三角形换成两个正方形 是否有这样的性质？
通过刚才的演示我们可以知道： 右图中，对称轴MN是任何一组对称点L、L’，所连线段LL’的垂直平分线
演示
通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质 ：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线 。
类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
演示
前面的两个性质可以简单的概括为： 对应点的连线被对称轴垂直平分。
如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我们如何验证呢？不折叠图形你能准确地得出它的对称轴吗？
思 考 作出一对对称点的垂直平分线，就得到它的对称轴。

现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？
思考？
下面我们来探究线段垂直平分线的性质
猜想： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2， …
能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
P3 A B l P2 P1 演示 l是AB的垂直平分线，观察P1A和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之间的关系？

求证：线段垂直平分线上得点到这条线段两端的距离相等
同学们能不能根据这幅图用符号语言来描述这个命题并给予证明呢？

转化成数学语言： 已知：直线m是线段AB的垂直平分线，P为线段AB上的任意一点；求证：PA=PB.
证明：利用判定两个三角形全等． ∵m是AB的垂直平分线，P在m上 ∴PC⊥AB,AO=BO ∴∠AOP= ∠BOP=90° 在△APO和△BPO中，
∴ △APO≌△BPO (SAS)
∴ PA=PB. PO=PO ∠AOP= ∠BOP
AO=BO 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等．

理解了吗？ 1、因为AD为BC的中垂线，所以 。 理由：
AB＝AC 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
①②③
例题 如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
D C B E A BD=AD AD+DC+BC AC+BC 12+7=19
习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
证明：∵AD⊥BC BD=DC ∴AD在线段BC的垂直平分线上 ∴AB=AC ∵点C在AE的垂直平分线上 ∴AC=CE 又 AB=AC ∴AB=AC=CE ∵AB=AC=CE 又BD=CD ∴AB+BD=CE+CD=DE

2、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC的长。
C
解:
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。

总结 本节课我们学习了： 1、垂直平分线 2、图形轴对称的性质 3、中垂线的性质
36页 习题12.1─3、4、9题