20.1.2：中位数和众数

20.1数据的代表 20.1.2 中位数和众数

　　小明所在小组9名同学的成绩分别为： 36　50　83　84 　87　88　90　91　93　
　　平均数可以很好的反映一组数据的集中程度，是数据的代表，但平均数容易受极端值的影响。　　
　　将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数。

3 4 　　中位数也是用来描述数据的集中趋势的,中位数是一个位置代表值。如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于等于或大于等于这个中位数的数据各占一半。
4.5 7.5
注意： （1）一组数据的中位数不一定出现在这组数据中
（2）一组数据的中位数是唯一的
（3）中位数是一个位置的代表值，它仅与数据的排列位置有关系，当一组数据的个别数据相差较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势
（4）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半

　　解：①先将样本数据按照由小到大的顺序排列： 124　129　136　140　145　146　 148　154　158　165　175　180 　　则这组数据的中位数是　（146＋148）＝147 所以样本数据的中位数是147.
　　②由①中样本数据的结论，可以估计，在这次马拉松比赛的总体成绩中，约有一半的选手的成绩慢于147分，约有一半的选手的成绩快于147分，故成绩为142分钟的选手比一半以上选手的成绩要好。

经理 第二天，阿冲上班了。
阿冲
阿冲在公司工作了一周后
平均工资确实是每月2000元,你看看公司的工资报表.
你欺骗了我，我已经问过公司的职员了，没有一个人是超过2000元的
经理 阿冲
该公司员工的月薪如下：
问题1：请大家仔细观察表格中的数据，讨论该公司的月平均工资是多少？经理是否欺骗了阿冲?
问题2：平均月工资能否客观地反映员工的实际收入？
问题3：再仔细观察表中的数据，你们认为用哪个数据反映一般职员的实际收入比较合适？
探究
练习 下面的条形图描述了某车间工人加工零件的情况：
请找出这些工人日加工零件的中位数，说明这个中位数的意义
人数 日加工零件数 中位数是6 由中位数是6可以估计，在这些工人中，大约有一半工人的日加工零件数大于或等于6个，有一半工人加工零件数小于或等于6个。

　　一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
5 6　3 2　3 2　3　4 1　2　3　5　7
　　当一组数据中多个数据出现的次数一样多时，这几个数据都是这组数据的众数。众数也常作为一组数据的代表，用来描述数据的集中趋势。当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量。

注意： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中
（2）一组数据的众数可能不止一个。
（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3
（4）一组数据也可能没有众数，因为没有哪个数据出现的频数比哪个多。如1，2，3，4中就没有众数。

　　解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的一组数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5码的鞋销量最大，因此可以建议多进23.5码的鞋。
假如你是老板，你最关心哪一个统计量?你会如何进货?

例：某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月销售量如下：
（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数
（2）假定销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你给出一个较合理的销售定额。

解（1）平均数：320件，众数210件，中位数：210件
（2）不合理。因为15人中只有2个销售额超过了320件，而有13人达不到320件，尽管320件是平均数，但它却不能反映营销人员的一般水平，销售额定为210件更合适，因为210既是众数，又是中位数，是大部分人都能达到的定额

例：甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下：
请你比较这两组数据的众数，平均数和中位数，再作判断。
分析：谈看法实质上就是按众数，平均数和中位数的大小比较其优劣

例：一名交通警察在高速公路上随机地观察了7辆车的车速，观察后他记录如下：
（1）样本数据（7辆车的车速）的中位数、众数各是多少？
（2）有一辆车的速度是64千米/时，那么它的速度如何？
（3）若只调查序号为1-6号的车，那么这6个数据的中位数、众数各是多少？

解（1）将7辆车的速度按从小到大的顺序排列如下： 53，56，57，65，68，68，70 由于位于正中间的数据是65，故中位数是65千米/时，又因为这组数据中68出现的次数最多，所以众数为68千米/时。
（2）这组数据的中位数是65千米/时，，可以估计道路上车辆的速度有一半高于65千米/时，有一半低于65千米/时，而这辆车的速度是64千米/时，所以可以推测它的速度比道路上一半以上的车的速度还要慢。
（3）将1-6号数据从小到大的顺序排列得到：53，56，57，65，68，70，位于中间的数据有两个，所以中位数为61千米/时，又因为每辆车的速度不一样，没有哪个车速出现的次数比别的多，所以这6辆车的速度没有众数。

在某次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数（平均数保留两位小数）并解释所求结果的实际意义。

解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；上表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是：1.69米 运动员成绩的众数是1.75米，说明成绩为1.75米的人数最多；运动员成绩的中位数是1.70米，说明1.70米以下和1.70米以上的数据各占一半；运动员成绩的平均数是1.69米，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69米。

双语学校第二届校运会初二的男子跳高比赛 中,12名选手的成绩如下(单位:cm)： 　 115 120 128 130 123 110 105 125 125 127 132 120。
解:先将这组数据按照由小到大的顺序排列: 110 115 120 120 123 125 127 128 130 132 处于中间的两个数是123与125,则中位数是
(1)这组数据的中位数是多少?
(2)某位选手的成绩是125cm,你对他的成绩 有何评价?
124
试一试你的身手 1.数据11, 8, 2, 7, 9, 2, 7, 3, 2, 0, 5的众数是 , 中位数是 .
2.数据15, 20, 20, 22,30,30的众数是 , 中位数是
20和30 3.在数据-1, 0, 4, 5, 8中插入一个数据x , 使得这组数据的中位数是3,则x=
4.数据8, 8, x, 6的众数与平均数相同,那么它们的中位数是
5.(中考链接)5个正整数从小到大排列,若这组数据的 中位数是3,众数是7且唯一,则这5个正整数的和是( ) A.20 B.21 C.22 D.23

平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量来代表数据。

选择题（选项A:平均数 B:中位数 C:众数）
①为了反映八（1）班同学的平均年龄，应关注学生年龄的______。
②为了资金的迅速周转和减少商品库存积压某手机销售商在进货时要关注各品牌手机销量的 ______ 。
③为了考察某同学在一次测验中数学成绩是占上等还是占下等水平，应关注这次数学成绩的______ 。

④某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖励。为了确定这个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额，经计算得出销售额的平均数是20万元/月，中位数是18万元/月，众数是15万元/月，如果你是该商场的管理人员，
⑴你想让一半左右的营业员能够达标，这个目标可定为______ ；
⑵你想确定一个较高的目标，这个目标可定______ 。

做一做 为了了解开展“孝敬父母,从家务事做起”活动的实施情况, 某校抽取八年级某班50名学生,调查他们一周做家务所用 时间,得到一组数据,并绘制成下表,请根据下表完成各题:
1)填写图中未完成的部分, 2)该班学生每周做家务的平均时间是
8 2.44 3)这组数据的中位数是,众数是
2.5 3 4)请你根据(2),(3)的结果,用一句话谈谈自己的感受.

如何求一组数据的中位数,众数？应注意什么?
小结与反思： 1.求中位数要将一组数据按大小顺序,顾名思义，中位数就是位置 处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序 时，从小到大或从大到小都可以．
2.众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据,而不是相应的次数．众数有可能不唯一,注意不要遗漏.
你知道中间位置如何确定吗?
n 为奇数时,中间位置是 第 个 n为偶数时,中间位置是 第 ,个

例6 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖惩，为了确定一个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额，数据如下（单位：万元）
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
（1）月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？
（2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由。
（3）想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由。
活动2 分析：商场统计的每个营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况，从而解决问题。

解：整理上面的数据得到图表如下：
人数 销售额/万元 （1）从表和图中可以看出，样本的数据的众数是15，中位数是18，求得这组数据的平均数是20，可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的销售额是18万元，平均销售额大约是20万元。

答：这个目标可以定为每月20万元（平均数）。因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大，可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有10％ 的营业员获得奖励。
答：月销售额可以为每月18万元（中位数），因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右，可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励。
（2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由。
（3）想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由。

小结 　⑴中位数、众数的定义。（注意：确定中位数时要分数据个数是奇数个还是偶数个；众数的个数可能不止一个。）
　⑵中位数、众数的作用：中位数也是用来描述数据的集中趋势的，它是一个位置代表值。如果知道一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据约各占一半。众数也常作为一组数据的代表，用来描述数据的集中趋势。当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量。

1.平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大.
2.当一组数据中某些数据多次重复出现时, 众数往往是人们关心的一个量,众数不受极 端值的影响,这是它的一个优势.
3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影 响,这在有些情况下是一个优点.
归纳
极差 某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下：
那么这一天两地温差分别是：
乌鲁木齐 24－10＝14（ ℃ ）
广州 25 － 20＝5（℃）
这两个温差告诉我们，这一天中乌鲁木齐的气温变化幅度较大，广州的气温变化幅度较小。
一组数据中最大的数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

问题1：极差能够反映数据的变化范围，生活中我们经常用到极差。举出几组我们生活用到极差的例子。
问题2：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大。（为什么？）
答：一支蓝球队队员中最高队员的身高与最矮队员的身高的差，一个公司成员的最高收入与最低收入的差等都是极差的例子。

练习 为使全村一起走向致富之路，绿荫村打算实施“一帮一”方案，为此统计了全村各户的人均年收入（单位：元）
1 2001 4231 3211 780 3 240 6 865 4 5362 314 5 6212 431 863 6 783 6 578 9 210 1 105 1 342 653 365 1 2433 452 3 432 1 8763 562 3 425 543 451 342 2 341 4 567 1 453 4 325 4 321
（1）计算这组数据的极差，这个极差说明了什么问题：
（2）将数据适当分组，作出频数分布表和频数分布直方图；
（3）为绿荫村“一帮一”方案出主意。