19.2.1：矩形

19.2.1 矩形
19.2特殊的平行四边形

一般性质： 具备平行四边形所有的性质
对边平行 对边相等， 对角相等， 对角线互相平分

探索新知:矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
矩形是轴对称图形. A B C D
已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD 矩形特殊的性质
矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看： 从对角线上看：
矩形的特殊性质 矩形的四个角都是直角
数学语言 ∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900

矩形的特殊性质 矩形的对角线相等 数学语言 ∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD
O A B C D 公平,因为OA=OC=OB=OD
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已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线. 求证: BO = ? AC
O D 证明: 延长BO至D,使OD=BO, 连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD ∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴AC=BD 再探新知
推论： 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半．
O
例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB ∵ ∠AOB=60° ∴ △AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝) ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
O 方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60° 或120°, 则其中必有等边三角形.

练习：教材104页练习1
如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角。
想一想：上图中有几个直角三角形，它们全等吗？图中有个等腰三解形，有几对全等的等腰三角形？
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　矩形具有而一般平行四边形不 具有的性质是 ( ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
C 营中热身
四边形ABCD是矩形 1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝， 则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝ 2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm 矩形的面积＝_______ ㎝2 若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm AB= _____cm
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4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝则AC＝ ㎝ (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝㎝， BD＝ ㎝.
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本课小结 矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等. ※ 矩形的性质定理2
※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

反思拓展： 1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使 AB=CD,EF=GH; （2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是 ＿＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2、 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD 和△AOD四个三角形的周长和为86cm, 又∵
AC=BD=13cm,
∴ 　　AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
Ｏ