第二章：2.3 平行线的特征

第二章 相交线与平行线
2.3 平行线的特征

复习巩固 如图， 直线a、b被直线c所截，当满足_______条件时， a∥b。
判定平行线的条件 由“角”定“线” 由“角”的数量关系（相等或互补）定“线”的位置关系（平行）
你能说出几个？ 角的关系平行关系
如图，直线a与直线b平行
（1）测量同位角∠1与∠5，它们有什么关系？还有其它的同位角吗？它们的大小关系如何？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
相等 2对，互补 2对，相等 由此你能想到了什么？

结论 ? 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
平行线的特征 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
简记
做一做 如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射，
（1）∠1，∠3的大小有什么关系？
∠2与∠4呢？ （1）∵AB∥DE ∴∠1=∠3。
相等：∠1=∠3； （2）反射光线BC与EF也平行吗？
∵∠2=∠4 ∴BC∥EF 。
平行 ∵∠1=∠2 ，∠3=∠4
∴∠2=∠4。 此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。
∠2 =∠4 。
考古 位于中国四川省广汉市南兴镇北的三星堆遗址，属于古蜀国文明。遗址分布范围达12平方公里，距今4800年至2800年，延续时间近2000年。 　　出土了各种文物：金器、玉器、石器、陶器、青铜器...等数千件。其中有享誉中外的金杖、金面罩、青铜人像、头像、人立像、画具等精品文物1000多件。

三星堆遗址
考古发现的问题 　　如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=110°。已知梯形的两底AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
解: ∵AD//BC ,∠A=115° ∴∠A+∠B=180 °(两直线平 行，同旁内角互补) ∴∠B=180°－∠A=65° 同样∠C=180°－∠D=70°

比一比 、乐一乐：（分组比赛） 规则:（组长上来抽签、读题，组内讨论后派 一人回答，并说明理由）
苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅
苹果 香蕉 草莓 桔子 苹果题： 梨子 西瓜 桃子 杨梅 如图，要在一座房子的两侧铺设平行管道，如果房子一侧铺设的角度为120，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设？为什么？
120o °
香蕉题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 如图：AB,CD被EF所截，AB∥CD(填空)。 若∠1＝120o，则∠2＝ ＿＿ （ 　　　） ∠3＝ －∠1＝＿＿＿ （　　　　　）
180o
草莓题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 1、如果AD//BC，根据___________ 可得∠B=∠1 2、如果AB//CD，根据___________ 可得∠D＝∠1 3、如果AD//BC，根据___________ 可得∠C＋ ∠D ＝180?
1
桔子题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 如图：在墙面上安装一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行。若第一个弯道处∠B＝142o，那么第二个弯道处∠C为多少度?为什么?

梨子题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 本题免答 谢谢 祝你好运　　　　
西瓜题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 如图,a∥b，c、d是截线，∠1=80 ,∠5=70 . ∠2、∠3、∠4各是多少度？为什么？
° ° 2
桃子题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 如图,平行线AB、CD被直线AE所截.
(1)从∠1=110 可以知道∠2
是多少度?为什么?
(2)从∠1=110 可以知道∠3
是多少度?为什么?
(3)从∠1=110 可以知道∠4
是多少度?为什么?
2 1 D C B A E 4 3
杨梅题： 苹果 香蕉 草莓 桔子 梨子 西瓜 桃子 杨梅 已知：直线a∥b, ∠1=115°. 则： ∠2=___,理由:________. 若∠3= 115°,则:直线c与d有何位置关系?并说明理由.

学后小结 由“线”定“角” 由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）
平行线的特征 平行关系角的关系
潜能 激发 拓广探究：两条平行直线被第三条直线所截，一对同位角的角平分线有何位置关系？内错角的角平分线、同旁内角的角平分线,它们分别又有何位置关系呢？
聪明的伙伴相信通过你们的认真观察、操作、推理、交流等活动，一定能发现其中的奥秘。试试看…

交流推理结果
3 第二章 相交线与平行线
平行线的特征 北师大七年级(下) 《数学》( 北师大.七年级 下册 )
强化和练习
回顾与思考一、直线交成的角
两直线相交形成 个角，
1 2 3 4 互补的 从位置关系上讲，∠2与∠4形成角；
对顶 ① 共顶点的角： ∠1与∠7形成 角， ∠5与∠7形成 角，
② 不共顶点的角： 4 从数量关系上讲，∠1与∠2形成 角，
对顶的两角 。 相等 对顶 互为补 (1) 同位角有 对：
4 (2) 内错角有 对：
2 (3) 同旁内角有 对：
2
1、在同一平面内,不相交的两条直线
4、同位角相等，两直线平行
5、内错角相等，两直线平行
6、同旁内角互补，两直线平行
二、判断两条直线平行的方法有哪些？
2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
3、垂直于同一条直线的两条直线互相平行

1、∵ ∠B＝∠1 (已知) ∴ AD//BC( ) 2、 ∵ ∠1＝∠D (已知) ∴ AB//CD ( ) 3、 ∵ ∠B+∠BCD＝180? (已知) ∴ ______________() 4、 ∵ ∠2=∠4 (已知) ∴ ____________( ) 5、 ∵ _______＝_______ (已知) ∴ AB//CD ( )
三、课堂练习 同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
AB // CD 内错角相等，两直线平行
AD // BC ∠5 ∠3 内错角相等，两直线平行

练习：如图当∠１＝ ∠４时 （ ）∥（ ）；∠ 2=∠4时，（ ） ∥ （ ）； ∠ 1+∠3=180° 时，（ ）∥（ ）.
分析：∠１＝ ∠4时，与∠１和∠4有关系的直线如右图（1）
当∠2＝ ∠4时，与∠2和∠4有关系的直线如右图（2）
当∠ 1+∠3=180°时，与 ∠ 1和∠3有关系的直线如右图（3）
n l l m
回顾与思考 二、判断两直线平行
考察两直线是否有平行关系，我们往往用第三直线作为沟通这两直线的桥梁—— 考察(被第三直线截成的八个角中)不共顶点的两个角, 是否满足某种数量关系 .
a b 相等 相等 互补
新知探索： 二直线平行后得到什么？
b a c 如图：直线 a 与b 直线平行。
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？
相等：∠1=∠5。 图中还有其它同位角吗？ 它们的大小有什么关系？
∠2=∠6、 ∠3=∠7、 ∠4=∠8； 还有三对同位角。 （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
有两对内错角： ∠3=∠5、 ∠4=∠6； ∵∠4=∠2，∠2=∠6， ∴ ∠4=∠6。
同理： ∠3=∠5
有两对同旁内角： ∠4+∠5=180°，
∠3+∠6=180°。
从中，你发现了什么规律吗？

简记为： 二平行直线的特征 （性质） 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

两类定理的比较 两条平行直线被第三条直线直线所截，
互换。 2、使用判定定理时是 已知 ，说明
角的相等或互补 二直线平行 使用性质定理时是 已知 ，说明。
二直线平行 角的相等或互补
你还能举出哪 些生活中的实 际事例吗？

如图，AB∥CD，∠B=∠D，比较∠A 和∠C的大小，你是怎样得到结论的？
A B C D AB∥CD ∠A+ ∠D=180° ∠C+ ∠B=180°
∠A=∠C
如图，AB∥CD，∠B=∠D，比较∠A 和∠C的大小，你是怎样得到结论的？ AD∥BC吗？
A B C D AB∥CD ∠A+ ∠D=180° ∠B＝∠D
∠A＋∠B＝180°
AD∥BC
做一做 如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射，
（1 ）∠1，∠3的大小有什么关系？
∠2与∠4呢？ ∵AB∥DE∴∠1=∠3。
相等：∠3=∠4； 你知道理由吗？ 两直线平行 同位角相等
（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
∵ ∠2=∠4∴ BC∥EF 。
平行： 又 ∠1=∠2 ，∠3=∠4
∴ ∠2=∠4。 此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。
∠2 =∠4 。 你知道理由吗？ 同位角相等 两直线平行
∠1=∠2 ∠3=∠4

三、随堂练习 p 71 1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。 分别找出与∠1相等或互补的角。
如图，与∠1相等的角有：
∠3， ∠5， ∠7， ∠9， ∠11， ∠13， ∠15；
与∠1互补的角有： ∠2， ∠4， ∠6， ∠8， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；
解：
（２）如图，已知∠２＝∠３， 则（ ）∥（ ），若AB∥CD, 则∠１＝( ) .
答案：AD∥BC, ∠1=∠4

如图，已知AG//CF，AB//CD，∠A＝40?，求∠C的度数。
解: ∵ AG//CF(已知)
∴ ∠ A＝∠AEC (两直线平行，内错角相等)
∵ AB//CD (已知)
∴ ∠ C＝∠AEC (根据两直线平行，内错角相等)
∴ ∠C ＝ ∠A＝40?
∵ ∠A＝40? ∴ ∠C ＝ ∠A
例1：如图，已知AG//CF，AB//CD，∠A＝40?，求∠C的度数。
1 解: ∵ AG//CF(已知)
∴ ∠A=∠1 (两直线平行,同位角相等)
又∵AB//CD(已知)
∴ ∠1=∠C (两直线平行,同位角相等)
∴ ∠A=∠C (等量代换) ∵ ∠A＝40? ∴ ∠C＝40?
例：如图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，∠B＝60?， 求∠C 的度数。能否求得∠A的度数？
解：∵AB//CD (已知)
∴∠B＋∠C＝180° (根据两直线, 同旁内角互补)
∵∠B＝60° ∴ ∠C＝180 ° - ∠B =120 °
根据已知条件，无法求得∠A的度数。

思考题： 如图：如果AB//ED，∠B、∠C、∠D的和是多少？

例2 如图所示 ∠1 =∠2 求证 ： ∠3 =∠4
证明：∵ ∠1 =∠2（已知）
∴a//b (同位角相等,两直线平行)
∴ ∠3 =∠4 (两直线平行，内错角相等)

小结 四、本节课你的收获是什么？
本节课你学到了什么?
本节课初步学习了如何混合应用平行线的判定与性质进行计算和说理(证明)． 要懂得几何中的计算往往要说理，要熟悉几何里计算题的格式； 还要懂得几何中常常可以由“已知”的条件推得一系列新的结论，在这个过程中，要能清楚每一步推理的依据，并初步了解解答这类问题的格式和要求．
本节课学习了平行线的三个性质，总结了平行线的判定 与性 质的区别．
这里的关键之一是要搞清“已知”了什么，得到的是什么样的“结论”．这样才能确保正确的应用，不发生错误．