第五章：命题、定理

5.3.2 命题、定理

下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ 1、对顶角相等； 2、画一个角等于已知角； 3、两直线平行，同位角相等； 4、a、b两条直线平行吗？ 5、温柔的李明明； 6、玫瑰花是动物； 7、若a2＝4，求a的值； 8、若a2＝b2，则a＝b。
否 是 否 否 是 否 是 是 √ 对事情作了判断的语句是否正确？
√ × ×
（2）、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
如：画线段AB=CD。
1.定义：判断一件事情的语句叫做命题。
注意： （1）、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。
如：相等的角是对顶角。

例1：判断下列五个语句中，哪个是 命题， 哪个不是命题？并说明理由：
1）对顶角相等吗？ 2）作一条线段AB=2cm;
3）我爱初一（6）班；
4）两条直线平行，同位角相等；
5）相等的两个角，一定是对顶角；

2.命题的组成：命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
两直线平行， 同位角相等。
题设（条件） 结论
3.命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
如命题：熊猫没有翅膀。改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。

例2：把下列命题写成“如果……那么……”的形式。并指出它的题设和结论。
1、对顶角相等； 2、内错角相等； 3、两直线被第三直线所截，同位角相等； 4、同平行于一直线的两直线平行； 5、 直角三角形的两个锐角互余； 6、等角的补角相等； 7、正数与负数的和为0。

有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。
如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题。
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题。

4.正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
确定一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法。

例3：将下列的命题写成“如果…..，那么.….. ”的形式，并判断它的真假。
1）等角的余角相等；
2）内错角相等，两直线平行；
3）有理数一定是自然数；
4）两条直线平行，同位角相等；
5）相等的两个角，一定是对顶角；

例4.如果两条平行直线被第三直线所截，那么同位角的平分线有什么关系？请画出图形并说明理由；内错角的平分线呢？同旁内角的平分线呢？

5、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
6、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。

2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ）
4）一个平角的度数是180度（ ）
6）取线段AB的中点C；（ ）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（ ）
7）画两条相等的线段（ ）
练习1：下列语句是不是命题？是用 “√”，不是用“× 表示。
3）不相等的两个角不是对顶角（ ）
5）相等的两个角是对顶角（ ）
× √ × × √ √ √
5）若A=B，则2A = 2B（ ）
9）同旁内角互补（ ）
4）两点可以确定一条直线（ ）
1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
2）一个角的补角大于这个角（）
2：判断下列命题的真假。真的用“√”， 假的用“× 表示。
7）两点之间线段最短（）
3）相等的两个角是对顶角（）
× √ 8）同角的余角相等（ ）
6）锐角和钝角互为补角（）
× √ √ × √ √ ×
3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚； 2、内错角相等； 3、画一条直线； 4、四边形是正方形； 5、你的作业做完了吗？ 6、同位角相等，两直线平行； 7、对顶角相等； 8、同垂直于一直线的两直线平行； 9、过点P画线段MN的垂线； 10、x＞2
是 真命题 否 是 假命题 是 假命题 否 是 真命题 是 真命题 是 假命题 否 否
公理举例： 经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理： 两点的所有连线中，线段最短。
4、平行线判定公理：
同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理：
两直线平行，同位角相等。
1、直线公理： 3、平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

同角或等角的补角相等。
2、余角的性质： 同角或等角的余角相等。
4、垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
5、平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
1、补角的性质： 3、对顶角的性质： 对顶角相等。 ②垂线段最短。 定理举例：
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
6、平行线的判定定理：
7、平行线的性质定理：
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
定理举例：
课堂小结 1、命题：判断一件事情的语句叫命题。
2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。
3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。
4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）； 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。