第二章： 何时获得最大利润
§2.6 何时获得最大利润
顶点式、对称轴和顶点坐标公式：
利润= 总利润= 售价－进价 每件利润×销售额
销售单价是多少时, 可以获利最多?
何时获得最大利润 例1：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
解：设销售价为x元(x≤13.5元),那么
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件, 而单价每降低1元,就可以多售出200件.
销售量可表示为 : 件;
每件T恤衫的利润为:元;
所获总利润可表示为: 元;
∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润, 最大利润是 元.
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时，总产量最大？)是否正确。与同伴进行交流你是怎么做的。
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量, 据经验估计,每多种2棵树,平均每棵树就会少结10个橙子. （1）种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？ （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
（1）解：假设果园增种x棵橙子树，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)
=-5(x-10)2+60500
当x=10时，y有最大值，最大值60500
∴果园种植110棵橙子树时，果园橙子的 总产量最大，最大为60500
=-5x2+100x+60000.
（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
答：增种6～14棵橙子树,可以使橙子 的总产量在60400个以上.
得-5(x-10)2+60500=60400
（2）解：当y=60400时，
解得：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
● C(2.5,0)
● D(-2.5,0)
根据题意得, A(0,1.25),顶点B(1,2.25).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外.
●B(1.57,3.72)
●(0,1.25) ● C(3.5,0)
● D(-3.5,0)
解:(2)根据题意得, A(0,1.25),C(3.5,0).
由此可知,如果不计其它因素,那么 水流的最大高度应达到约3.72m.
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法 求得抛物线为:y=-(x-11/7)2+729/196.
因此,抛物线顶点为B(1.57,3.72)
例4：一块铁皮零件，它形状是由边长为40厘米正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，AF=12厘米，BF=10厘米，现要截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上.请问如何截取,可以使得到的矩形面积最大?
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. 那么矩形PNDM的面积: y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. 那么矩形PNDM的面积: y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3