第二章：二次函数y=ax2+bx+c的图象 课时一

九年级数学(下)第二章
二次函数
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1) 函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+K的图象和性质

你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?
函数y=ax2+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象．

(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?

观察图象,回答问题 (3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的 图象形状相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴向右平移 了1 个单位

(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？

想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?

真知从实践走来 1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象．
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质

二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.

真知从实践走来 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随 x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？

请总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.

二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象

二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h X=h
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0） （h，0） 直线x=h 直线x=h 在x轴的上方 (除顶点外)
在x轴的下方 ( 除顶点外)
向上 向下
二次函数y=a(x-h)2的性质
抛物线 增减性 最值 y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a<0)
当x=h时, 最小值为0.
当x=h时, 最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

我思，我进步 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．

在同一坐标系中作出函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质

二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
X=1
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
X=1
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
X=1
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
X=1
我思，我进步 在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x2和y=-3(x-1)2的图象

y X=1
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
X=-1
二次函数y=a(x-h)2+k与=ax2的关系
一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.

二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 y=a(x-h)2+k (a>0)
y=a(x-h)2+k (a<0)
（h，k） （h，k） 直线x=h 直线x=h 由h和k的 符号确定
由h和k的 符号确定
向上 向下
抛物线 增减性 最值 y=a(x-h)2+k (a>0)
y=a(x-h)2+k (a<0)
当x=h时, 最小值为k.
当x=h时, 最大值为k.
在对称轴左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴右侧, y随着x的增大而减小.

悟出真谛,练出本事 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?

1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
回味无穷 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系

2.不同点: 位置不同 (1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0.
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系

3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个 单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平 移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得 到的.
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系

知识的升华 P48 习题2.41题. 祝你成功！

P48 习题2.4 1题
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
结束寄语 读书要从薄到厚,再从厚到薄.
再见