第一章：1.1.1 等腰三角形的性质

等腰三角形
从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？

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等腰三角形 一.基本概念 1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC， 就是等腰三角形
2.等腰三角形的基本要素:
相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边 两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角

腰： 底边： 顶角： 底角：
腰： 底边： 顶角： 底角：
AC，BC AB AB，CB AC
做一做1： （1）把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来； （2）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。 （3）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD。
观察后你发现了什么现象？
二.等腰三角形性质的探索

结论： 1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C
3、BD = CD ，AD 为底边上的中线
4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高
5、∠BAD = ∠CAD ，AD为顶角平分线
问题1、结论（2）用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳为什么？

(2)要注意是哪三线?
做一做2：画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边(腰)上的中线和高，看是否重合？
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
(1)“等腰三角形”是三线合一的大前提
归纳： 如图：BF为AC边上的高，BE为ABC的平分线，BG为AC边上的中线

D 如何证明：等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
已知：如图△ABC中AB=AC
求证：∠B=∠C 证明：过A作AD⊥BC于D
∟ 在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB=AC（已知） AD=AD（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
思考1：还有其他的证明方法吗？
思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？

等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”）
2、等腰三角形的 顶角平分线、底边上的高和底边上的中线 互相重合（简称“三线合一”）
一般的三角形有这种性质吗？
要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。

C D B A ①在ΔABC中，∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C（）
等腰三角形的性质 等边对等角 （1）∵AD⊥BC， ∴∠____ = ∠____，___= ___
（2）∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____
（3）∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，___ =___
BADCAD BDCD AD BC ADBC BAD CAD BDCD ②在△ABC中， AB=AC时，
等腰三角形底边上的中线和高线、顶角的平分线互相重合。

例题 例1。在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB 则图中有哪些角相等？
∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°
∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°

例2、已知：在△ABC中，AB = AC，∠B = 80°， 求∠C 和 ∠A的度数。
解： 因为 AB =AC 所以∠B = ∠C = 80°
又 ∠A + ∠ B + ∠C = 180°
所以 ∠A = 180°- 80° - 80°= 20°

例3、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
解： 因为等腰三角形的“三线合一” 所以AD是△ABC的顶角平分线、 底边上的高，即
∠1 = ∠ 2 ∠ADC = 90°
因为∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°
所以
1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 ___________________ 2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 ________
70°,40°或55°,55°
35°,35° 巩固练习: 20或22 20
1、判断下列命题是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°。 （）
练一练 2、如图，在△ABC中，已知 AB = AC ，AD为∠BAC 的平分线，且∠2=25°，求∠ADB和∠B的度数。

当堂练习 1、等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6， 求另两边的长。 2、等腰三角形的底角比顶角大15 °，求各内角的度数 4、等腰三角形的底角可以 是直角或钝角吗？为什么？

补充例题：
达标练习二(A 水平)
一、填空题： 1、等腰三角形若两边长为3和7，则其周长为________。 2、如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和______。 3、如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为________。 二、判断题： 1、等腰三角形的底角都是锐角( ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形( )
√ × 17　　 50° 80° 50°
达标练习二(B水平)
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两个内角为__________________ 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两个内角为______
70°,70°或40°，100 °
30°,30° ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。
④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论

5.已知 如图：在△ABC中，AB=AC，点M在△ABC内，且MB=MC。求证：∠ABM=∠ACM
A B C M
6.已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， （1）图中有几个等腰三角形？ （2）求△ABC各角的度数。
A B C D
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF
1 2 3 F 分析： CD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD
∠2=∠3+∠DAC
∠3=∠B ∠ACB =90°，CE是AC边上高

挑战：已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？
解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x
∵底边BC＝5 ∴BC＋CD＝5＋x AB＋AD＝3x
∴(5+x)：3x＝2:1 　或3x：(5+x)=2:1
x x 2x 5
例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB,求∠A的度数.
解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z ∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∠AED=∠EBD+∠EDB
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°） ∴解得x=45° 即：∠A=45°

挑战５：如图，已知CE、CF分别平分∠ACB和它的外角，EF∥BC，EF交AC于D，你能说明DE＝DF的理由吗？

小结： 1、等腰三角形的性质：
等边对等角 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合（三线合一）
3、“三线合一”性质在实际应用中，只要推出 其中一个 结论成立，其它两个结论一下成立， 所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
本节课你学到了什么?

再 见！