19.2.2：菱形（1）

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19.2.2 菱 形 （1）

两组对边 分别平行 矩形 情景创设 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我们已经研究了一种特殊的平行四边形——矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平行四边形——菱形
有一个角是直角 菱形 有一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
菱形的定义： AB=BC ABCD 四边形ABCD是菱形

他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

菱形的性质： （1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形；

已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
在△ABD中，　　 又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角；

相等的线段： 相等的角： 等腰三角形有： 直角三角形有： 全等三角形有： 已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC OA=OCOB=OD
∠DAB=∠BCD∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边 对角线 角 菱形的性质 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角线平分一组对角。

【菱形的面积公式】 O E S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半

学以致用 1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm 60度 有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。

大显身手 O
　已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
大显身手
3、已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a． 求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长 ⑶菱形ABCD的面积
练一练P108：1、2

4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA；
5、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm， 求菱形的高。

6、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
1．定义： 2．性质： 矩形和菱形常利用图中的RT△进行计算和证明
3．面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
小结
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生　　　　　　　　　　　　　　
再见！
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A B C D E F