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第三章: 圆心角与圆周角的关系 课时二

课件 1083KB 2017/12/10 免费

第三节圆周角和圆心角的关系(二)
第三章 圆
耐心填一填,一锤定音!
1.如图,∠BOC是 角, ∠BAC是 角。 若∠BOC=80° , ∠BAC= 。
圆心 圆周 40° A
用心想一想,马到功成
观察图①,∠ABC, ∠ADC和∠AEC各是什么角?它们有什么共同的特征?它们的大小有什么关系?为什么?
答: ∠ABC, ∠ADC和∠AEC都是圆周角。
根据圆周角定理,∠ABC,∠ADC,∠AEC都等于 圆心角∠AOC的一半。 所以这三个角是相等的。
由此你得到什么结论?
这三个角是相等的。 理由是: 图①
用心想一想,马到功成
结论是: 在同圆中,同弧所对的圆周角相等。
如果把上面的同弧改成等弧,结论成立吗?
答:成立。因为等弧所对的圆心角相等,而圆周角等于圆心角的一半,所以这些圆周角也相等。
对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题:若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”, 结论成立吗?请同学们互相议一议。

用心想一想,马到功成
如图,当他站在B,D,E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗?为什么?

用心想一想,马到功成
观察图②,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是 锐角、直角、还是钝角?你是如何判断的?
答:直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径 将圆分成了两个半圆,而半圆所对的圆心角是∠BOC=180° ,所以 ∠BAC=90° 。
图② 观察图③,圆周角∠BAC=90° ,弦BC经过圆心吗?为什么?
图③ 答:弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB,由∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° 。即B、O、C三点在同一直线,也就是BC是⊙O的一条直径。
由以上我们可得到:直径所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的弦是直径。

放开手脚 做一做 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?
答:图(2)是半圆形。理由是:90° 的圆周角所对的弦是直径。

放开手脚 做一做 如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C, 使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系?为什么?
分析:由于AB是⊙O的直径,故连接AD。由直径所对的圆周角是直角,可得AD⊥BC.又因为△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的三线合一,可证得BD=CD。
解:BD=CD。 理由是:连接AD。 ∵ AB是⊙O的直径, ∴ ∠ADB=90° , 即AD ⊥BC。 又∵AC=AB。 ∴BD=CD

教材题变形,拓展延伸
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。 如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危险角”,当船与两个 灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁。
(1)当船与两个灯塔的夹角 ∠α大于“危险角”时,船位于 哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角 ∠α小于“危险角”时,船位于 哪个区域?为什么?

分析:这是一个有实际背景的问题。由题意可知:“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。 船P与两个灯塔的夹角为∠α,P有可能在⊙O外,P有可能在⊙O内.当∠α>∠C时,船位于暗礁区域内;当∠α<∠C时,船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.

解:(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时,船位于暗礁区域内(即⊙O内)。理由是:
连接BE. 假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与∠α>∠C矛盾,所以船不可能在⊙O上;假设船在⊙O外,则有∠α<∠AEB,即∠α<∠C,这与∠α>∠C矛盾,所以船不可能在⊙O外。因此,船只能位于⊙O内。
(1)当船与两个灯塔的夹角 ∠α大于“危险角”时,船位于 哪个区域?为什么?

(2)当船与两个灯塔的夹角 ∠α小于“危险角”时,船位于 哪个区域?为什么?
解:(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时,船位于暗礁区域外(即⊙O外)。理由是: 假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O上;假设船在⊙O内,则有∠α>∠AEB,即∠α>∠C,这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O内。因此,船只能位于⊙O外。

大胆尝试,练一练 1.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性。
答:有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。
答:∠BDC= ∠BAC 。

3.如图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O 上的一点,∠ABC=30° ,求AC的长。

课时小结 1.要理解圆周角定理的推论。
2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3.要多观察图形,善于识别圆周角与圆心角,构造同弧所对的 圆周角也是常用方法之一。
4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系,而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系,因此,圆中的角(圆周角和圆心角)、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等,不能直接得圆周角相等。

作业: 课本习题3.5 1、2

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