第三章： 圆心角与圆周角的关系 课时二

第三节圆周角和圆心角的关系(二)
第三章 圆
耐心填一填，一锤定音！
1.如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。 若∠BOC=80° ， ∠BAC= 。
圆心 圆周 40° A
用心想一想，马到功成
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
答： ∠ABC， ∠ADC和∠AEC都是圆周角。
根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于 圆心角∠AOC的一半。 所以这三个角是相等的。
由此你得到什么结论？
这三个角是相等的。 理由是： 图①
用心想一想，马到功成
结论是： 在同圆中，同弧所对的圆周角相等。
如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。
对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”， 结论成立吗？请同学们互相议一议。

用心想一想，马到功成
如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？

用心想一想，马到功成
观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是 锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径 将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180° ，所以 ∠BAC=90° 。
图② 观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经过圆心吗？为什么？
图③ 答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° 。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。

放开手脚 做一做 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
答：图（2）是半圆形。理由是：90° 的圆周角所对的弦是直径。

放开手脚 做一做 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C， 使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。
解：BD=CD。 理由是：连接AD。 ∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB=90° ， 即AD ⊥BC。 又∵AC=AB。 ∴BD=CD

教材题变形，拓展延伸
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。 如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个 灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
（1）当船与两个灯塔的夹角 ∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角 ∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？

分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。 船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.

解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：
连接BE. 假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。
（1）当船与两个灯塔的夹角 ∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？

（2）当船与两个灯塔的夹角 ∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是： 假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。

大胆尝试，练一练 1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。
答：∠BDC= ∠BAC 。

3.如图,⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC的长。

课时小结 1.要理解圆周角定理的推论。
2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的 圆周角也是常用方法之一。
4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。

作业： 课本习题3.5 1、2

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