第一章：三角函数的有关计算-解直角三角形

1.3三角函数的有关计算
沈阳南昌中学九年级 九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系

Rt△ABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A ,∠B
知识回顾
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
（勾股定理） 知识回顾 知识回顾
特殊角的三角函数值表

由锐角的三角函数值反求锐角

1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°， 求∠B.
如何解直角三角形 解：在Rt△ABC中，
∵tanB= ∴∠B=30° 30°
2.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角分别是30°和60° 的三角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离 为5m,那么这棵树大约 有多高?（精确0.1m）
解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30° ∴tan30°＝
∴CD＝AD·tan30°＝
∴CE＝1.7+≈4.6(m)
∴棵树大约4.6m.

3 .如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=2，求AC的长.
解：过A作AD⊥BC于D， ∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2，
D 45° 30° 2 ∴AD=AB·sinB
sinB = ∵在Rt△ACD中，∠C=30°
=2×sin45°=
∴AC=2AD =
解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45° ∴CD=AD
∴ AD＝2 +2 知识的运用 怎样做？ 体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.
4.如图,∠D＝90°,∠B=30°,∠ACD=45°, BC=4cm,求AD.
A B C 45° 30° 4 D ┌ ∴BD= AD 在Rt△ABD中，∠B＝30° ∴tan30°=
∵BD－CD=BC, 即 AD－AD＝4
x x x
巩固练习 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
40 (课本17页)
5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度
2010年长沙 解：∵在Rt△ADB中， ∠BDA＝45°，AB＝3 ∴DA＝3
∴CA= 在Rt△ADC中，∠CDA＝60° ∴tan60°=
∴BC=CA－BA=( －3)米
答：路况显示牌BC的高度是( －3)米

6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？
A B C D 300m 200m 解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F.
在Rt△ABF中，∠A＝45° BF＝AB·sin45°=150
在Rt△ABF中,∠CBE＝60° CE＝BC·sin60°=100
∴山高(150＋100 )m

7.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
α=30° β=60° 120 A B C D 解；在Rt△ABD中，∠BAD＝30° BD＝AD·tan30°=40
在Rt△ACD中,∠CAD＝60° CD＝AD·tan60°=60
∴山高100 m ∴BC＝BD+CD＝100

8.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B A D F 60° 12 30° 解：过A作AF⊥BD于F.设AF＝x海里 在Rt△ABF中,∠BAF＝60°
∴ x=6 >8 在Rt△ADF中，∠DAF＝30° ∴DF=AF·tan30°= x
∵BF－DF=BD ，即
∴没有触礁的危险 ∴BF=AF·tan60°＝ x
x
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.
温馨提示
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形 (1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90o；
(3)边角之间的关系:
知识回顾 (必有一边)
感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”)

已知斜边求直边， 已知直边求直边， 已知两边求一边， 已知两边求一角， 已知直边求斜边， 计算方法要选择， 正弦余弦很方便； 运用正切理当然； 函数关系要选好； 勾股定理最方便； 用除还需正余弦； 能用乘法不用除. 优选关系式 a b c
9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
学以致用 1 2 10 10 F
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
10 5 10 F ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45° ∵sinB = ∴CD= BC·sinB= 10×sin45°=
10× = ∵在Rt△DAC中， sin ∠DAC=
∴ ∠ DAC=30°
∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC=
45°-30°=15°
45° 45° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向

如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E,
10 10 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x
∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2
∴x2+(10+x)2=(10　)2
即：x2+10x-50=0
(舍去) ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°
的方向
∴sin ∠CAE=
∴∠CAE≈15° 45°
练一练 1.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知a， ∠A的值，则c的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ） 2.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知 ，BC＝6， 则AC＝ ，AB＝ . 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (1) ∠A＝45°, a= 3; (2) c=8,b=4;
思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？
D 8 10 一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.

在山脚C处测得山顶A的仰角为45°问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB.
D 巩固练习
2009沈阳中考 16．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正 弦值为 ，则坡面AC的长度为 m．
2008沈阳中考 14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝ ，则河堤的高BE为 米．

再见
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m)
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边AB=6,求BC的长
角α越大,攀上的高度就越高.
你能解决吗?
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐角α的度数?
你能解决吗? 角α是否在50°≤ α ≤75°内

例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20 22.7 知识应用
仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
介绍:
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20 22.7 α＝22° 知识应用 E
例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
α=30° β=60° 120 A B C D
巩固练习 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
40 (课本93页)
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65° 34° P B C A
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
方位角 介绍:
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65° 34° P B C A 80
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等) 2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
知识小结
1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形的五个元素. 图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形 的五个元素. 2.解直角三角形: 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
什么是解直角三角形