第二章：2.2 探索直线平行的条件

探索直线平行的条件 第一课时
不在同一平面内—— 在同一平面内 异面直线 相交 平行 的两直线叫做平行线.
同一平面内，不相交 同一平面内 (无公共点) 根据平行线的定义，两条直线平行必须符合什么条件?
(1)同一平面内；
(2) 没有交点．
复习引入 1 2 3 4 大家还记得画平行线的方法吗？那为什么要平推呢？这里有什么数学道理吗？

1、认识同位角 新知探究 ⑵两条直线相交，交成几个角? 这些角都有什么样的关系?
两条直线相交成的四个角中有对顶角 对,邻补角有对
对顶角 邻补角 2 4 ⑴你学过了哪些具有特殊位置关系的角?

⑶画一画：两条直线AB、 CD与直线EF相交，交点分别为E F如图则称直线AB 、CD 被直线EF所截，直线EF为截线。
两条直线AB 、CD 被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”。
新知探究 ⑷这八个角中对顶角、邻补角各有些？ 三条直线构成的八个角之间除以上这些角的关系外，还有什么样的关系．

同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。
①、∠1、∠5的边所在的直线是哪些直线？ ②、公共直线是哪条？（公共直线就是第三条直线） ③、∠1、∠5可以看成哪两条直线被第三条直线截出的角？ ④、∠1、∠5在位置上有哪些相同点？重点强调位置关系。 ⑤、图中还有哪些同位角？
∠1与∠5分别在直线AB、 CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同.
新知探究
②同位角的位置特征 ①你能看出两个同位角的顶点之间、边与边之间有什么关系吗?
新知探究 同位角没有公共的顶点和公共的边但有一条边在一条直线上，且方向相同
ⅰ在截线的同旁； ⅱ在被截两直线的同方向； 满足“F”型。
同位角的特征
∠1和∠2不是同位角，
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
1 2 1 2 因为∠1和∠2无一边共线。
∠1和∠2是同位角，
因为∠1和∠2有一边共 线、同向，
且不共顶点。 概念辨析
c
变式题： 如图,∠1和∠2是同位角的是（ ） A. ⑴、⑵、⑶， B. ⑵、⑶、⑷， C. ⑶、⑷、⑸， D. ⑴、⑵、⑸
答案：D 概念辨析
如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2满足什么条件时直线a与b平行.
当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时 当∠1＜∠2时 ①直线a和b不平行 ②直线a∥b ③直线a和b不平行 新知探究 2 探索两直线平行的条件

同位角相等，两直线平行
条件:两条直线被第三条直线所截得的同位角相等 结论:这两直线互相平行
∵ ∠1=139°，∠2=139°（已知） ∴ ∠1=∠2（等量代换） ∵ ∠1=∠2,∠1和∠2是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
新知探究
1、如图∠1=150°∠2=150°a//b吗？
2、如图，∠C=31°，当∠ABE=度时，就能使BE//CD？
解： ∵ ∠1=150°，∠2=150°（已知） ∴ ∠1=∠2（等量代换）
小试牛刀 ∵ ∠1=∠2,∠1和∠2是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）
解：31 °
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？试用这种方法 过已知直线外一点画它的平行线.请说出其中的道理。
同位角相等，两直线平行.
一放 二靠 三推 四画 小试牛刀 3
类型之一 直接运用 例1、如图所示：∠1=∠C，∠2=∠C请你找出图中互相平行的直线，并说明理由。
(2) AC∥BD. ∵∠2与∠C是 BD, AC被CD截成的同位角， ∠2=∠C ∴ AC∥BD
例题讲解 解：（1）AB∥CD ∵∠1与∠C是 AB，CD 被AC截成的同位角， ∠1=∠C ∴AB∥CD
运用“同位角相等,两直线平行” 是判定两条直线平行的有效方法

例2．如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
例题讲解 类型之二 间接运用
解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下： ∵ ∠3=∠2 （对顶角相等） ∠2=55°（已知） ∴ ∠3=55 ° （等量代换） ∵ ∠1=55 ° ∠3= 55 ° ∴ ∠1=∠3 （等量代换） ∵ ∠1=∠3， ∠1和∠3 是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）

例题讲解 变式1：如图，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下： ∵ ∠3=∠2 （对顶角相等） ∠2=55°（已知） ∴ ∠3=55 ° （等量代换） ∵ ∠1=55 ° ∠3= 55 ° ∴ ∠1=∠3 （等量代换） ∵ ∠1=∠3， ∠1和∠3 是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）

变式2：如图，∠1=55°，∠2=125°，∠3等于 多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由．
例题讲解 解 ∠3= 55 °，AB ∥CD 理由如下： ∵ ∠3+∠1=180 ° （平角定义） ∠1=125°（已知） ∴ ∠3=55 ° （等量代换） ∵ ∠2=55 ° ∠3= 55 ° ∴ ∠2=∠3 （等量代换） ∵ ∠2=∠3， ∠2和∠3 是同位角 ∴ a ∥b。（同位角相等，两直线平行）

1、如图1,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上 一点.若∠A=∠1,则可判断___∥___,因为________.
2、如图2若∠1=45°，则∠2=_____时. l1∥l2，
3、如图3，若∠A=_____，则AC∥ED ，这是因为________
练习检测
4、如图，在同一平面内,如果两条直线b、c都垂直于同一条直线a,那么这两条直线平行吗?为什么?
解： ∵ a⊥b，c⊥a（已知） ∴ ∠1=90°,∠2=90°（垂直定义）. ∴ ∠1=∠2=90°（等量代换） ∵ ∠1=∠2， ∠1和∠2是同位角 ∴ b∥c (同位角相等,两直线平行).
练习检测
3、每得出一个两直线平行的结论，都要依序完成下列三个过程： ①找出一对同位角； ②说明这两个同位角相等； ③用公理得出“平行”的结论。
2、判断两直线平行的条件 “同位角相等，两直线平行”
1、同位角的定义 两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角。 ①在截线的同旁； ②在被截两直线的同方向； 满足“F”型。
小结提升
标题 第 二 章 平行线与相交线
2.2 探索直线平行的条件(第2课时)
标题 《数学》( 北师大.七年级 下册 )

探索活动一 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，逆时针转动木条a .
问题一：观察∠2的变化以及它与∠1 的大小关系？
问题二：木条a与木条b的位置关系 发生了怎样的变化？木条a何时与木条b平行？
2 ∠1＞∠2， ①直线a和b不平行 ∠1=∠2， ②直线a∥b 2 2 a ∠1＜∠2， ③直线a和b不平行
探索活动一 如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b、c，逆时针转动木条a .
问题三：改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？
b c 1 a 2 当∠1=∠2时， 木条a与木条b平行
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
归纳： 两直线平行的判定公理
简写成：同位角相等，两直线平行
符号语言
学以致用 例1.如图，∠1 =∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明你的理由。
解：∠3= 55°，AB∥CD
理由：∵∠2=55°（已知） ∴∠3= ∠2=55° ∵∠1=55°（已知） ∴∠1=∠3= 55° ∴AB∥CD
（等量代换） (对顶角相等） （同位角相等，两直线平行）

温故并思考 用平移三角尺方法过已知直线外一点这条直线的平行线，其中的道理是什么？
45° 45° （同位角相等，两直线平行）

探索活动二 问题1：当内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
问题2：当同旁内角角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
猜想：内错角相等,两直线平行.
同旁内角互补,两直线平行.

已知: 如图 , 直线a 、 b
b a 被直线 c 所截, 求证: 直线 a∥b.
∠1 = ∠2 .
证明: ∵∠3 = ∠1,
() 对顶角相等 ∠1 = ∠2, ( )
已知 ∴ ∠3 = ∠2; ( ）
∴ a∥b. ( ).
等量代换 同位角相等,两直线平行.
为什么“内错角相等时,二直线平行”？
结论：内错角相等,两直线平行.

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
归纳： 简写成：内错角相等，两直线平行
符号语言
解:(1) AC // BD，理由如下： ∵ ∠1=∠ABD ∴ AC // BD（）
如图，直线AB、CD同时被直线AC、BD所截，∠1=∠ABD, ∠2=∠ABD,请找出图中相互平行的直线，并说明理由.
(2) AB // CD，理由如下： ∵ ∠2=∠ABD ∴ AB // CD（）
内错角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
学以致用
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
判定两直线平行的方法
小结
探索活动二 问题2：当同旁内角角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
猜想：同旁内角互补,两直线平行.

已知: 如图 , 二直线a 、 b
b a 被直线 c 所截, 求证: a∥b. ∠1 +∠2=180°
∴ a∥b. ( ).
1 同位角相等,两直线平行.
∠1 +∠2=180
证明: ∵ ∠1 +∠3=180,
∴ ∠2= ∠3=180()
同角的补角相等 为什么“同旁内角互补时,二直线平行”？
结论：同旁内角互补,两直线平行.

① ∵ ∠1 =_____（已知） ∴ AB∥CE
② ∵ ∠1 +_____=180o（已知） ∴ CD∥BF
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知） ∴ _____∥_____
AB CE ∠2 ④ ∵ ∠4 +_____=180o（已知） ∴ CE∥AB
∠3 ∠3 （内错角相等,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
（同旁内角互补,两直线平行）
学以致用
条件开放题 如图，直线a、b被直线c所截，∠1= 40°，能添加一个条件使得直线a与直线b平行吗？

同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 平行线的判定 判定 数量关系 位置关系 小结
1、观察右图并填空： ∠1 与 是同位角; (2) ∠5 与 是同旁内角; (3) ∠1 与 是内错角;
随堂练习 p 68 b a n m 2 3 1 4 5 ∠4 ∠3 ∠2 a∥b. l∥m. l∥n .
布置作业：
在数学天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道—— 毕达哥拉斯
结束寄语
做一做 B C D A E 图2—8 你看得懂她的意识吗？ 她选的第三线是谁？
他选谁为第三线？ 内错角相等， 两直线平行。
选BD作第三线，
如图2—8，三个相 同的三角尺拼成一个图 形，请找出图中的一组 平行线，并说明你的理由。
用三角尺的60?角相等 说明“同位角相等”，
用“同位角相等两直线平行” 来说明 BD∥AE。
用的是什么角？ 内错角。 你知道这一步的理由吗？
AC 做一做 再找一组平行线，说明你的理由。