18.2：勾股定理的逆定理（1）

勾股定理的逆定理
古埃及人曾用下面的方法得到直角

按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。
动手画一画
勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’ =c ∵ 边长取正值 ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’(全等三角形对应角相等）
∴ ∠C= 900 已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
∴ △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
勾股定理的逆命题 勾股定理 互逆命题 逆定理 定理
驶向胜利的彼岸 定理与逆定理 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系?
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.

(1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题: 内错角相等，两条直线平行.成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.

例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14c=15____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是 是 不是 是 ∠ A=900 ∠ B=900 ∠ C=900 (3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

B A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形
1.
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
S四边形ABCD=36

分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形

1、请你写出三组勾股数； 2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?

1、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个 零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
此时四边形ABCD 的面积是多少?
2、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.

3、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？ A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3
…… 请谈谈你的收获
自主评价： 1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题
3、什么称为互为逆定理。

作业：84页，
习题18.2第1题、第4题

勾股定理的逆命题 如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
已知：在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证： △ ABC是直角三角形
证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
a b A’ B’ C’