18.1：勾股定理（2）

18.1勾股定理
（图中每一格代表一平方厘米）
观察左图： （1）正方形P的面积是 平方厘米。
（2）正方形Q的面积是 平方厘米。
（3）正方形R的面积是 平方厘米。
1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2
八年级下册 动手试一试，动脑想一想

R Q P （图中每一格代表一平方厘米）
观察左图： （1）正方形P的面积是 平方厘米。
（2）正方形Q的面积是 平方厘米。
（3）正方形R的面积是 平方厘米。
9 方法二 16 25 （1）你能用直角三角形的边长表上述正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2
方法一 AC2+BC2=AB2
SQ+SP=SR
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
（图中每一格代表一平方厘米）

把R看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。
（图中每一格代表一平方厘米）

做一做： 在下图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
52+122=132

勾股定理： 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
在?ABC中，?C=90?
?AC2+BC2=AB2
a b c （a2+b2=c2）
勾 股 弦 …… 八年级下册 勾股定理 a b c
a a a b b b c c c 大正方形的面积可以表示为：
你能通过下图证明勾股定理吗？
a b c 所以： 化简得： 八年级下册 勾股定理-----证明

a b c 你能通过下图证明勾股定理吗？
大正方形的面积可以表示为：
所以： 化简得： 八年级下册 勾股定理 勾股定理-----证明

结论：在直角三角形中，已知两边可以求第三边.
例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
B 24 A C 7 如果将题目变为： 在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
24 ∵ Rt△ABC中, ∠C是直角
∴ AC2+BC2=AB2
∴ 八年级下册 勾股定理----理解

1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=______;(2)已知a=6,c=10,则b=_____; (3)已知a=2,b=4,则c=______. 2.已知Rt△ABC中，∠B= 90°，AC=，BC= 则AB=_______, ∠A=________; 3.在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的 距离是_______，点（3，- 4）与点（2，1）之间的距离是_______.
动脑想一想，看谁反应快！！
5 8 450 5
5. 若正方形的面积为3cm2，则它的对角线长是 . 6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .
4.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=8,b=15,则c=______.
6 8 17 新知理解----试一试
6,8,10 八年级下册
7、如图，在△ABC中，∠ACB = 90。，CD是高，若AB=13cm，AC = 5cm，求CD的长；
A B C D 提示：先求BC，再求△ABC的面积，再根据 面积求出AB边上的高CD；
∵ ∠C=90° ∴AC2+BC2=AB2
八年级下册 勾股定理---运用
8.△ABC中,周长是24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的面积是多少?
A B C a b c 解： ∵周长是24，且b=6
∴a+c=24-6=18
设a=x,则c=18-x
∵ ∠C=90°,
∴a2+b2=c2 ∴x2+62=(18-x)2
解得：x=8 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
a b c 勾股定理： 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2 …… 在?ABC中，?C=90?

已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高线AD。
A B C D 解：设BD=X，则DC=21－X。
∵AD⊥BC ∴AD2=AB2-BD2=102-X2
AD2=AC2-CD2=172-（21-X）2
解，得X=6 ∴102-X2=172-（21-X）2
∴AD2=102-62=64
∴AD=8
8.△ABC中,周长是 , ∠C=90°,且 c=2,则三角形的面积是多少?
A B C a b c 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用 9.直角三角形中,斜边长是 , 面积为2,则三角形的周长是多少?

如图，在Rt△ABC中?C=90?，AC=BC,且BC=5, 求三角形ABC的面积和底边上的高
如图，在Rt△ABC中?C=90?， ?A=30?，,且AC=3, 求BC的长和三角形ABC的面积

12.如图，△ABC中，∠A=45°， ∠B=30°，BC=8. 求AC的长.
A B C D 8 4 4 4 2 八年级下册 勾股定理---运用
6.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
A B C D E 1 2 450 450 1 2 （1） ∠B=90°, ∠C=45°, BC=2
（2） ∠B=90°, ∠C=45°, 则∠E=45°
∵∠ADE=90°, ∠C=45°, AD=1
∴DE=AD=1 则BE=BC=2 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD =900，∠DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD和四边形ABCD的面积；
D A B C 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
9.在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积。
A B C D 13 13 10 H ∵ AB＝AC, AD⊥BC
作AD⊥BC于 D 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积
8 D A B C 解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X），
由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6 ∴ S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=48

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求（1）BD（2）CD （3）BC
25 或7
13.如图,在△ABC中,AB=AC=5,P为BC边上任意一点.求证:AP2+PB·PC=25.
D P D 八年级下册 勾股定理---运用
1.在长和宽分别是40cm,30cm的文具盒中，能放进一支长为48cm的铅笔吗？
40cm 30cm 分析：根据题意，关键是求对角线的长度。
x 解：设对角线长为xcm
由勾股定理得： 302+402=x2
x2 =2500 解得：x=50 ∵50＞48 ∴该文具盒能放进一支长为48cm的铅笔
八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离
A B C 40 90 160 40 分析： AC=90-40=50
BC=160-40=120
在Rt△ABC中， AC2+BC2=AB2
502+1202=AB2
AB=130 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
3.飞机在天空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行 多少千米?
20秒 4000米 5000米 解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 即50002=BC2+40002， 所以BC=3000米。
即飞机的速度为540千米/时。
A B C
1.如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A距O点8千米,在水塔的东南向处有一建筑工地B距O点6千米，在AB间建一条直水管，则水管的长为多少?
o 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发,他以6千米/小时的速度向东行走,1时后乙出发,他以5千米/小时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?
东 北 甲 乙 甲走2小时的路程为6×2=12千米
乙走1小时的路程为5×1=5千米
根据勾股定理得： 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
5、某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线AB上选取，该市有两所学校在点C和点D的位置，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25千米，CA=15千米，DB=10千米，试问：图书馆E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？
A C E B D 解：设AE=x，则BE=25-x，
x 由勾股定理得： CE2=AE2+AC2=x2+152 DE2=BE2+DB2=（25-x）2+102
∴ x2+152 =（25-x）2+102 解得 x=10（千米）

8.有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
x 尺 x2 + 52 = (x+1)2
x = 12 水池 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
例11 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
4、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边的点落在AB边上,其中点C落在点E处，求CD的长。
解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2=32+42=25 可得AB=5（cm）
由于图形折叠，得BE=BC=3cm，DE⊥AB，CD=DE
设CD=x，则在Rt△ADE中，DE=xcm，DA=（4-x）cm，AE=AB-BE=2cm， 由勾股定理得，x2+22=（4-x）2
解这个方程得 x=1.5(cm)
八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF （2）EC.
A B C D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X 解：由题意得AD= BC=10CM
∴BF2=AF2-AB2=102-82
在直角三角形EFC中 FC2+EC2=EF2
解，得X=3 ∴BF=6 FC=4
∵AB⊥BC 设EC=X，则EF=8－X
即42+X2=（8-X）2
∴EC=3
我怎么走 会最近呢?
7.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
高 12cm B A 长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225=
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
152
如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
10 20 A E C B 20 15 10 E F D
如下图：在方格纸中有△ABC，顶点在格点上，请利用余下的地方画一个与之相似的放大三角形，使它们的对应边比都为
3 2 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2. 一天，小明买了一张底面是边长为260cm正方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认为小明能拿进屋吗，为什么？
242 100 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
∴售货员没搞错 荧屏对角线大约为86厘米
∵702+502=7400
862=7396 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？
解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,
∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
答:蚂蚁需要爬行的最短路径是cm.

葭生池中
今有方池一丈，
葭生其中央，
出水一尺，
引葭赴岸，
适与岸齐。
问：水深、葭长各几何？
X-1 X 1尺 解：可设葭长为x尺，
则水深为(x-1)尺
则有: (x-1)2+52=x2
解得： x=13 所以：葭长13尺，水深12尺。
葭(jiá) 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
? ? 1.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
B B 8 O A 2 蛋糕 A C B
例4、在下图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF的面积。
AC2=32+42=52
SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52 =132=169厘米2
例5、如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？
S1+S2=S3 即：两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。

1、小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正东方向走到离家250米远的地方，小明向正东方向走了多远？
2、一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。 （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高吗？
A B C 5米 (X+1)米 x米
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
２０ ２ 3 2 3 2 3 Ａ Ｂ Ｃ
已知：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,周长为P
（1）填表： （2）如果a+b-c=m， 观察上表猜想
=_______ (用含有m的代数式表示)。
（3）证明（2）中的结论。