第一章：1.1 等腰三角形

1.1 等腰三角形
1.等腰三角形及其相关概念 。
2.等腰三角形的性质 。
3.等腰三角形的概念及性质的应用 。

下载图片 共同特点
等腰三角形 你知道什么是等腰三角形吗?

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.
如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就 是等腰三角形。
只有等腰三角形才有底角和底边.

如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？
△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）
若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？
△ABC（AB=AC） △ADB（AD=BD） △BDC （BD=BC）

心灵手巧 材料: 剪刀、一张矩形纸
方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分；
（3）将剩余部分展开。

大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片,它除了两腰相等以外,你还能发 现什么?
A B C
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点,叫做对称点.
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设问：你发现了什么现象，
猜一猜 猜想等腰△ABC有哪些性质？
角: ① ∠B = ∠C ② ∠BAD=∠CDA ③∠ADC= ∠ADB=900
边:④BD = CD
→ 两个底角相等 →AD为顶角∠BAC的平分线 → AD为底边BC上的高 → AD为底边BC上的中线
结论: 等腰三角形是轴对称图形；
等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）

证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
1 2 证明：等腰三角形的两个底角相等
作顶角的平分线 D
证明： 作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
D 证明：等腰三角形的两个底角相等
作底边中线
证明： 作底边高线AD.
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) ,
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
D 证明：等腰三角形的两个底角相等
作底边的高线 在Rt△BAD和△RtCAD中，

等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= ___度，∠A=____度？
∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵∠B=80° （已知） ∴∠C=80° 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C 　∠A=20°

等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B=——度，∠C=——度？
∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） 　∠A=50° （已知） ∴∠B=65° ∠C=65°

等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
“三线合一”
练习 1.判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个 内角也为60°. （） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （）
× ×
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=______
2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为______度
C 55° 30
2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？
∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知） ∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一） ∵BD=2cm（已知） ∴CD=2cm

3.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。
∠B=∠C ∠1=∠2 ∠BDA=∠CDA=90° BD=CD

1．（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A． 8 B． 7 C． 4 D． 3．
2． (宁波) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A.5个B.4个 C.3个 D.2个
A B
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_______.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
结论:在等腰三角形中,
40 ° 35 °，35 ° 70°,40°或55°,55°

4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
BAD CAD CAD BD CD AD BC BD BAD BC AD CD
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。
解：相等，理由如下： 连接AD 在△ABC中， ∵AB=AC，D为ＢC中点 ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF

通过本节课的学习，你有哪些收获？
性质1：等边对等角 性质2：“三线合一”
常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．
研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线．
等 腰 三 角 形