26.1.1 二次函数
二次函数(1)
基础回顾什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
二次函数 函数知多少
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为
问题1: y=6x2① 亲历知识的发生和发展
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
问题2: 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作 条 对角线.
n (n-3) 因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数
M N 即
函数①②有什么共同点?
观察： y=6x2① 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
注意： （2）a,b,c为常数，且
（4）x的取值范围是任意实数。
整式。 a≠0. 2
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1
（3） y=x(1+x)
（2） y=5x2-6
看谁反应快
例题讲解 例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x－1)2+1(2) y=x+ (3) s=3－2t2(4) y=(x+3)2－x2 (5)y= －x(6) v=8π r2
解: y=3(x-1)2+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即
y=3x2-6x+4
是二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 3 -6 4 不是二次函数. (3) s=3-2t2是二次函数.
二次项系数: 一次项系数: 常数项: -2 0 3 (4) y=(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2 即
y=6x+9 不是二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8π 0 0 不是二次函数. (6) v=8π r2
是二次函数.
知识运用 例1:下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ ) (3)y=3x3+2x2 () (4)y=2x2-2x+1() (5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )
不是 是 不是 不是 是 不是
驶向胜利的彼岸 知识运用 m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= (k≠0) ， 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
小结： 现在我们学习过的函数有:
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。
想一想
例题讲解 解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 时是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
随堂练习 S=2πr2 +2πr2即S=4πr2
即
随堂练习 4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠nD m,n为任何实数
C C
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
xm y m2 xm （40-2x ）m
解： 由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x
(0
生活问题数学化
这节课你有什么收获和体会？
结束寄语 生活是数学的源泉. 再见 探索是数学的生命线.