第20课 解一元一次方程 合并同类项与移项
请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，共有多少请算清．
你能列出方程来解决这个问题吗？
新课导入
希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着： “他的生命的六分之一是幸福童年； 再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须； 他结了婚，又度过了一生的七分之一； 再过五年，他有了儿子，感到很幸福； 可是儿子只活了他父亲年龄的一半； 儿子死后，他在极悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”
根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？
3.2 解一元一次方程（一） ——合并同类项与移项
知识与能力 1． 能根据实际问题，建立数学模型——一元一次方程，来解决； 2．能在解方程中，正确合并同类项．
教学目标
过程与方法 1．由实际问题引入，进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤； 2．渗透运用数学问题来解决实际问题的建模思想．
教学目标
情感态度与价值观 1．通过引导发现，培养独立思考问题的能力； 2．通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情．
教学目标
重点 未知数，列方程，用合并及等式性质解方程． 难点 1．建立方程时寻找“相等关系”; 2．合并时“x”或“－x”前面的系数为1或“－1”．
教学重难点
约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书， 阿拉伯文书名是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来．
阿尔—花拉子米 （约780——约850）
（1） x－2x＋4x
（2）5y＋y－2y
（3）2a－1.5a－0.5a
＝（1－2＋4）x ＝3x ＝（5＋1 －2）y
＝4y ＝（2－1.5－0.5）a
合并同类项 ＝0
实际 问题 一元一次 方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
设未知数 列方程
怎样解方程? 问题1：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载者一些数学问题,其中一个问题翻译过来是：“啊哈,它的全部,它的 其和等于16”.你能求出问题中的“它”?
解:设问题中的它为x，则：它的 为 . 根据问题中的相等关系：它的全部＋它的 ＝16．可列方程
合并同类项 系数化为1 分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a为常数）的形式.
答:问题中的它是14.
解方程中“合并”起了什么作用？
解方程中的“合并”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项．它使方程变得简单，更接近x = a的形式.
解：设计划生产Ⅰ型电视机x台，则计划生产Ⅱ型电视机15x台,计划生产Ⅲ型电视机20x台，列方程
某电视机厂今年计划生产电视机21600台，其中Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型三种电视机的数量之比为1:15:20，这三种电视机计划各生产多少台?
x＋15x＋20x＝21 600
练一练
答： Ⅰ型电视机计划生产600台,Ⅱ型电视机计划生产9000台,Ⅲ型电视机计划生产12000台．
合并同类项，得 36x＝21600 系数化成1，得 x＝600 所以 计划生产Ⅱ型电视机600×15＝9000（台）, 计划生产Ⅲ型电视机600×20＝12000（台）.
解：合并同类项，得 2x＝－10 系数化为1，得 x＝－5.
例1：解方程 （1）5x－3x＝－10
解：合并同类项，得 2x＝7
系数化为1，得
解：合并同类项，得 4x＝－9 系数化为1，得
（3）6x－1.5x－0.5x＝－9
（4）3x＋5x－6x＝－3×4＋20
解：合并同类项，得 2x＝8. 系数化为1,得 x＝4.
（1）－2x－0.5x＝－10; （2）3x－4x＝－15＋10; （4）－4x＋5x－3x＝3.5×3－6
x＝4 x＝5 练一练 解下列方程
1．简单方程解法步骤
移项； 合并同类项； 系数化为1．
归纳
问题2：有一批学生去游玩，若每辆车坐43人，则还有35人没座；若每辆车坐45 人，则还有15人没座，求有多少辆车，多少学生？
解：设有x辆车. 每辆车坐43人，共有43x人，加上没座的35人，共有学生43x＋35. 若每辆车坐45人，共有45x人，加上没座的15人，共有学生45x＋15. 找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程 43x＋35＝ 45x＋15
怎样解方程?
43x＋35＝ 45x＋15
43x－45x＝15－35
43x＋35－35－45x＝45x＋15－35－45x
等式性质1 把等式一边的某一项变号后移到另一边.
你发现了什么？
移项 合并同类项 系数化成1 X=15 答：有10辆车，660个学生.
所以学生总人数为：43×15＋35＝660（人）.
移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
知识要点
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式．
以上解方程中“移项”起了什么作用？
下面的移项对不对？如果不对，请改正？
（1）从5＋2ｘ＝10，得2ｘ＝10＋5
（2）从3ｘ＝2ｘ－5，得3ｘ＋2ｘ＝5
（3） 从－2x＋5＝1－3ｘ，得－2x＋3x＝1＋5
2x＝10－5 3x－2x＝－5 －2x＋3x＝1－5
练一练
下列移项正确的是（ ） A．由2＋x＝8，得到x＝8＋2 B．由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8 C．由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1 D．由5x－3＝0，得到5x＝－3
C 练一练
例2：解下列方程. 解：移项，得 6x－3x＝8＋7 合并同类项，得 3x＝15. 系数化为1,得 x＝5. 移项时应注意改变项的符号
解：移项，得 合并同类项，得 系数化成1，得
解下列方程 . （1）10x－4＝6
（2）5x－7＝3x － 5
x＝1 x＝1 练一练
解方程的步骤及依据： 1．移项（等式的性质1） 合并（分配律） 系数化为1（等式的性质2） 2．“对消”与“还原”就是“合并”与“移项” 3．表示同一量的两个不同式子相等．
归纳
现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？
“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”.
下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？
解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得
1．移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边； 2．移项要改变符号.
注意
例3：有一列数,按一定的规律成－1，2，－4，8，－16，32， －64，···，其中某三个相邻数的和为1 536，这三个数各是多少?
解：设这三个相邻数中的第1个数为x， 那么第2个数就是－2x， 第3个数就是－2×（－2x）＝4x. 根据这三个数的和是1536，得 x－2x＋4x＝1 536.
合并同类项，得 3x＝1 536. 系数化为1，得 x=512. 所以 －2x=－1 024, 4x＝2 048. 答：这三个数是512、－1 024、2 048.
1．有一列数，按一定规律排列成1，－5，25，－125···若其中某三个相邻数的和是13 125，这三个数各是多少 ？
练一练 解：设这三个相邻数中的第1个数为x， 那么第2个数就是－5x， 第3个数就是－5×（－5x）＝25x. 根据这三个数的和是13 125，得 x－5x＋25x＝13 125.
合并同类项，得 19x＝13 125. 系数化为1，得 x=625. 所以 －5x= －3 125, 25x＝ 15 625. 答：这三个数是625、 －3 125 、 15 625.
2．三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数．
解：设这三个相奇数中的第2个数为x， 那么第1个数就是x－2， 第3个数就是 x＋2. 根据这三个数的和是27，得 （x－2）＋ x＋ x＋2＝27 解，得 x＝9 所以第第1个数就是x－2＝9－2＝7； 第3个数就是 x＋2＝9＋2＝11. 答：这3个奇数是7，9，11.
解：设这三个相奇数中的第2个数为x， 那么第1个数就是x－2， 第3个数就是 x＋2. 根据这三个数的和是29，得 （x－2）＋ x＋ x＋2＝29 解，得 x＝ 因为 不是奇数，所以不存在这样的三个奇数.
3．如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？
4．在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39. （1）培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？ （2）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？
（1）12、13、14
（2）6、13、20
观察下列一组数：3，-6,12，-24,48，-96，。。。，其中某三个相邻的数的和是576，这三个数各式多少？
192，-348,768
有一列数按下列规律排列为：1，-3,5，-7,9。。。如果其中是哪个相邻数之和为-201，求这三个数。
-199， 201， -203
某地上网有两种方式，用户可以任选其一 （A）计时制：2.8元/时； （B）包月制：60元/月 此外，每种上网方式都加收通信费1.2元/时 （1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？ （2）某用户有120元用于上网（一个月），选用哪种上网方式比较合算？ （3）请你为用户设计一个方案，使用户合理地选择上网方式？
某通信公司开展两种业务：业务A基本月租费50元，每通话一分钟付话费0.4元；业务B是无基本月租费，每通话一分钟付话费0.6元，若一个月内通话x分钟。 （1）用式子表示两种方式的费用各是多少？ （2）对于某个通话时间，会出现两种方式的费用一样多嘛？ （3）若某人一个月通话300分钟，选择哪一种业务合算些？
某校七年级五班班主任带领学生去杭州旅游，甲旅行社说：“假如班主任买全票，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为每张240元 （1）问学生多少人时，甲、乙两家旅行社收费一样多？ （2）就学生数讨论选哪一个旅行社更合算？
例4：根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题．
（1）一个月本地通话时间150分和300分，计算按两种移动电话计费方式各需要交费多少元？ （2）会出现两种移动电话计费方式收费一样吗？
解：（1）
（2）设累计通话t分,则按方式一要收费（50+0.3t）元，按方式二要收费（10＋0.4t）.如果两种移动电话计费方式收费一样， 则 50+0.3t＝ 10＋0.4t 移项，得 0.3t-0.4t=10－50 合并同类项，得 －0.1t=－40. 系数化为1，得 t=400. 由上可知，如果一个月内通话400分，那么两种计费方式的收费一样.
（1）8人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车停止检票时间还有42分，这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时，这8人能赶上火车吗？（设走行速度为5千米/时）.
练一练
第一种情况： 小汽车分二批送这8人，若第二批人在原地不动，那么小汽车来回要走15×3＝45千米，所需 时间为＝45分>42分，因此，单靠汽车来回接送无法使8人都赶上火车. 第二种情况： 若在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可以节省时间，汽车送完第一批人后，用了x
解：此题可分类讨论：
小时与第二批人相遇，再用x小时送到火车站，则列方程得，
解得： 所用时间为： 时， 因为40.4<42，因此，这时8人能赶上火车.
第三种情况： 这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么这时所用时间更少.
（2）一位老商人在临死前，把他的儿子叫到床前，他要把他一生积蓄的金币分给儿子们，让大儿子拿出一枚金币后，再把盘里的 分给他；然后让二儿子拿二枚金币后，再分盘里的 给他；让三儿子拿三枚金币后，再分盘里的 给他···照这样分法分下去，让最后一个儿子拿完金币后，金币恰好分完，而且每个儿子得到的金币数相等，请你算一算，老商人一生攒了多少枚金币？他共有几个儿子？
分析：设老商人共积攒x枚金币，大儿子拿出一枚后，盘里还剩（x－1）枚，大儿子又拿了盘中的，因此大儿子共得金币 枚.此时盘中剩 枚，被二儿子拿走二枚后，盘中还剩 枚．二儿子又分得此时盘中的 ，因此二儿子共得到金币枚 ．根据所有儿子得到的金币都相等，可列出方程.
解：设老商人一生积攒了x枚金币， 列方程
去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1,得 x＝36.
即老商人共有36枚金币，大儿子分得 因为所有儿子分得的金币数都相等， 因此老商人有
答：老商人一生积攒了36枚金币，他共有6个儿子.
用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：
实际问题 数学问题 （一元一次方程）
实际问题 的答案 数学问题的解 （x=a）
检验 列方程 解方程 归纳
1．简单方程解法步骤
移项； 合并同类项； 系数化为1．
课堂小结
2．用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：
实际问题 数学问题 （一元一次方程）
实际问题 的答案 数学问题的解 （x=a）
检验 列方程 解方程
1． 若方程x＋9＝8的解也是方程ax＋3＝7解,则a＝_________. 2．若x＝4是方程 的解,则 的值为__________.
－4 10 随堂练习
3．解下列方程. x＝1 x＝4 x＝－12 x＝1
4．已知：y1 = 2x+1， y2 = 4 －x.当x取何值时， y1 = y2 ？
解：由题意，得 2x+1＝ 4 －x 移项，得 2x＋x＝4－1 合并同类项，得 3x＝3 系数化为1，得 x＝1. 所以当x＝1时， y1 = y2 .
5. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”你知道这个班有多少学生吗？
解：设这个班有x个学生， 列方程
移项，得
合并同类项，得 系数化为1，得 x＝56. 答：这个班有56个学生.
6. 小明和小刚每天早晨坚持跑步，小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米. （1）若他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后相遇？ （2）若小明站在百米起点处，小刚站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小刚？
解：（1）设x秒后相遇.
可得方程: 6x＋4x＝100 合并同类项，得 10x＝100 系数化为1，得 x＝10. 答：两人10秒后相遇.
（2）设小明x秒后追上小刚.
可得方程： 4x＋10＝6x 移项，得 4x－6x＝－10 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为1,得 x＝5. 答：小明5秒后追上小刚.
习题答案