第二章：认识一元二次方程 课时一

1.认识一元二次方程(1)
第二章 一元二次方程

数学与生活 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?

你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?
与一元一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型。
“知识” 知多少
教室地面有多宽 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

挑战自我 解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
你能化简这个方程吗?
（8－2x） （5－2x） (8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5 x x x x （8－2x） （5－2x） 8 18m2
你能行吗？ 观察下面等式： １０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２ 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　　，　　　　，　　　　，　　　　．
你能化简这个方程吗?
x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　 .

生活中的数学 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m. 如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m; 根据题意，可得方程：
你能化简这个方程吗?
6 x＋6 72＋(x＋6)2 ＝102
xm 8m 10m 7m 6m 10m 1m
上面的方程都是只含有　　　　　　的　　　　 ，并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２
即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
一个未知数x 整式方程 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)

“行家”看“门道” 下列方程哪些是一元二次方程?
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
解: (1)、 (4)

内涵与外延 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 　　　时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程．
≠3 ≠±1 ＝－1
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为尺,依题意得方程：
培养能力之源泉 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即 x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺 2尺 x x－4 x－2 (x－4) (x－2)
培养能力之阵地 ２.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为： 9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2 5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系数为 ， 5 ＋ 36 － 32 一次项系数为 ， 常数项为. 5 36 － 32 4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2 ＋ 24x － 36 ＋ 12x ＋ 4 ＝0
回味无穷 本节课你又学会了哪些新知识呢？ １．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数． ２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系 你准备如何去求方程中的未知数呢?

知识的升华 第32页随堂练习 习题2.1 1 、2题 祝你成功！

知识的升华 １．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
即 x2 ＋ 7x－44 ＝0
2 5 x x X＋5 X＋2 54m2
知识的升华 （２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242.
x2 ＋2x－8 0＝0.
即 解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１, x＋2，依题意得方程：

知识的升华 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－5x＋1＝0
x2 ＋ x－8＝0
或－7x2 ＋0 x＋4＝0
3 －5 ＋1 1 ＋1 －8 －7 0 4 3 －5 1 1 1 －8 －7 0 4 或7x2 － 4＝0
7 0 － 4 －7x2 ＋4＝0
结束寄语 运用方程（方程组）解答相关的实际问题是一种重要的数学思想——方程的思想. 一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.